Ein ganzzahliges Invariant einer stetigen Ein-Parameter-Familie selbstadjungierter Fredholm-Operatoren, das mit Vorzeichen und Vielfachheit die Nettoanzahl der Eigenwerte zählt, die beim Variieren des Parameters durch Null gehen; es verbindet spektrale Daten mit topologischen Indizes.

Prinzip

Eigenwertdurchgänge durch Null sind für Familien selbstadjungierter Fredholm-Operatoren diskret; durch die orientierte Zählung der Durchgänge erhält man eine homotopieinvariante ganze Zahl, die unter Suspension dem Index eines zugehörigen Operators auf einem Zylinder entspricht.

Demonstration

Für einen glatten Pfad {A_t}_{t∈[0,1]} beschränkter selbstadjungierter Fredholm-Operatoren verfolgt man die Eigenwerte λ_i(t): der Spektralfluss ist die Summe über Durchgangszeitpunkte t_j der Vorzeichen von (d/dt)λ_i(t_j), gezählt mit Vielfachheit. Bei Familien von Dirac-Typ-Operatoren D_t = D + tK auf einer geschlossenen Mannigfaltigkeit stimmt der Spektralfluss mit dem Index von ∂_t + D_t auf M×[0,1] überein.

Fehlanwendung

Durchgänge ohne Orientierung zu zählen oder Entartungen (gleichzeitige Mehrfachdurchgänge) zu ignorieren führt zu falschen Ergebnissen; die Anwendung des Begriffs auf nicht-Fredholm-Operatoren oder auf Familien, bei denen das wesentliche Spektrum Null passiert, scheitert, weil Durchgänge dann nicht mehr diskret oder wohldefiniert sind.

Konsequenz

Der Spektralfluss vermittelt zwischen Analysis und Topologie: er berechnet Differenzen spektraler Projektionen, tritt in Beweisen von Indextheoremen für Familien auf, steht in Beziehung zum Maslov-Index in der symplektischen Geometrie und misst spektrale Phasenänderungen unter kontinuierlichen Deformationen.

Umkehrung

Umkehrend ergibt sich der negative Spektralfluss beim Durchlaufen des Parameters in umgekehrter Richtung; begrifflich führt die Konzentration auf Durchgänge eines anderen Levels als Null oder auf Erzeugung/Annihilation von Eigenwerten statt Null-Durchgängen zu einem grundsätzlich anderen Invariant.

Abgrenzung

Definiert für stetige Pfade selbstadjungierter Fredholm-Operatoren (beschränkt oder für unbeschränkte Operatoren mit geeigneter Graph-Topologie); nicht allgemein definiert für nichtselbstadjungierte Familien, für unkontrollierte unbeschränkte Operatoren oder wenn das wesentliche Spektrum Null kreuzt.

Semantische Spannung

Steht in enger Beziehung zum Fredholm-Index: in vielen Konstruktionen ist der Spektralfluss gleich dem Index eines Suspensionsoperators, doch ist der Spektralfluss pfadabhängig, während der Index einem einzelnen Operator zugeordnet ist; die Spannung entsteht beim Unterschied zwischen Pfadinvarianz und Endpunkt-Invarianten.

Synthese

Der Spektralfluss ist die orientierte Zählung der Eigenwertdurchgänge durch Null entlang eines stetigen Pfads selbstadjungierter Fredholm-Operatoren; er wandelt analytische Eigenwertbewegung in eine ganze Zahl um, die topologische und index-theoretische Informationen über die Familie kodiert.