Une décomposition orthogonale de l'espace des formes différentielles sur une variété riemannienne compacte en trois sous-espaces mutuellement orthogonaux : formes harmoniques (noyau du laplacien de Hodge), formes exactes (images de la différentielle extérieure) et formes coexactes (images du codifférentiel). Elle identifie les classes de cohomologie de de Rham à des représentants harmoniques et relie l'analyse elliptique aux invariants topologiques.

Principe

Le laplacien de Hodge est un opérateur elliptique auto-adjoint avec noyau de dimension finie sur une variété compacte ; la projection orthogonale sur ce noyau fournit des représentants harmoniques canoniques des classes de cohomologie de de Rham, et toute forme se décompose de façon unique en harmonique + exacte + coexacte.

Démonstration

Sur une variété compacte orientée M, toute k-forme ω admet une décomposition unique ω = h + dα + δβ où h est harmonique (Δh = 0), α est une (k−1)-forme et β une (k+1)-forme ; le nombre de Betti b_k est égal à dim(noyau Δ_k).

Mauvaise application

Appliquer la même décomposition sur une variété non compacte ou sans préciser de conditions au bord peut échouer : le spectre continu ou le fait que l'image de d/δ ne soit pas fermée rompt la séparation orthogonale, si bien que traiter toute forme fermée comme harmonique ou exacte conduit à des erreurs.

Conséquence

On obtient des représentants harmoniques dépendant de la métrique qui déterminent toutefois les groupes de cohomologie topologiques ; cela permet de calculer les nombres de Betti à partir des données spectrales et soutient des raffinements hodgétiques comme le théorème de Hodge sur les variétés kählériennes.

Inversion

Plutôt que de décomposer les formes en parties harmoniques, exactes et coexactes, l'inversion consisterait à tenter de reconstruire des données métriques globales uniquement à partir des classes de cohomologie ; cette inversion perd l'information spectrale analytique et est généralement impossible sans structure supplémentaire.

Limite

Valable pour les variétés riemanniennes compactes sans bord ; pour les variétés à bord il faut imposer des conditions absolues ou relatives (ou utiliser les conditions d'Atiyah–Patodi–Singer) ; ne s'applique pas aux opérateurs non elliptique ni aux situations avec spectre essentiel.

Tension sémantique

Étroitement liée au théorème de de Rham (identification topologique de la cohomologie) et à la décomposition de Hodge complexe sur les variétés kählériennes (séparation en types (p,q)) ; la tension tient à la différence entre classes de cohomologie purement topologiques et représentants harmoniques dépendant de la métrique.

Synthèse

La décomposition de Hodge est le dispositif analytique qui réalise concrètement la cohomologie de de Rham : la régularité elliptique rend la cohomologie de dimension finie et sélectionne des formes harmoniques canoniques, produisant une séparation orthogonale unique en composantes harmoniques, exactes et coexactes.