Una descomposición ortogonal del espacio de formas diferenciales en una variedad riemanniana compacta en tres subespacios mutuamente ortogonales: formas armónicas (núcleo del laplaciano de Hodge), formas exactas (imágenes de la derivada exterior) y formas coexactas (imágenes del codiferencial). Identifica las clases de cohomología de de Rham con representantes armónicos y conecta el análisis elíptico con invariantes topológicos.

Principio

El laplaciano de Hodge es un operador elíptico y autoadjunto con núcleo de dimensión finita en una variedad compacta; la proyección ortogonal sobre su núcleo proporciona representantes armónicos canónicos de la cohomología de de Rham, y toda forma se descompone de forma única como armónica + exacta + coexacta.

Demostración

En una variedad compacta orientada M, cualquier k-forma ω admite la descomposición única ω = h + dα + δβ, donde h es armónica (Δh = 0), α es una (k−1)-forma y β una (k+1)-forma; el número de Betti b_k coincide con dim(núcleo Δ_k).

Aplicación incorrecta

Aplicar la misma descomposición en una variedad no compacta o sin especificar condiciones de contorno puede fallar: el espectro continuo o el hecho de que la imagen de d/δ no sea cerrada rompen la separación ortogonal, por lo que tratar toda forma cerrada como armónica o exacta conduce a errores.

Consecuencia

Se obtienen representantes armónicos dependientes de la métrica que, sin embargo, determinan los grupos de cohomología topológicos; esto permite calcular números de Betti a partir de datos espectrales y fundamenta afinamientos hodgeanos como el teorema de Hodge en variedades kählerianas.

Inversión

En lugar de descomponer formas en armónicas, exactas y coexactas, la inversión intentaría reconstruir datos métricos globales únicamente a partir de clases de cohomología; esa inversión pierde la información espectral analítica y normalmente es imposible sin estructura adicional.

Límite

Válida para variedades riemannianas compactas sin borde; para variedades con borde hay que imponer condiciones absolutas o relativas (o usar condiciones de Atiyah–Patodi–Singer); no se aplica a operadores no elípticos ni a situaciones con espectro esencial.

Tensión semántica

Está estrechamente relacionada con el teorema de de Rham (identificación topológica de la cohomología) y con la descomposición de Hodge compleja en variedades kählerianas (separación en tipos (p,q)); la tensión está entre clases de cohomología puramente topológicas y representantes armónicos dependientes de la métrica.

Síntesis

La descomposición de Hodge es el mecanismo analítico que realiza concretamente la cohomología de de Rham: la regularidad elíptica hace que la cohomología sea de dimensión finita y selecciona formas armónicas canónicas, produciendo una descomposición ortogonal única en componentes armónicas, exactas y coexactas.