Une paire d'énoncés fondamentaux sur une suite d'événements (En) dans un espace de probabilité : (i) si la somme des probabilités Σ P(En) est finie alors la probabilité que infinitely nombreux En se produisent est nulle (premier lemme). (ii) si les En sont indépendants et Σ P(En) diverge alors infinitely nombreux En se produisent presque sûrement (deuxième lemme).

Principe

La sommabilité des probabilités d'événements contrôle l'occurrence à long terme : une somme finie impose l'absence éventuelle presque sûre ; la divergence associée à l'indépendance impose la persistance presque sûre.

Démonstration

Pour des lancers de pièce, soit En l'événement que le lancer n donne face avec probabilité p_n. Si Σ p_n < ∞ alors presque sûrement seulement un nombre fini de faces apparaissent dans le patron rare spécifié. Si p_n sont constantes positives et les événements indépendants, Σ p_n = ∞ et infinitely nombreux se produisent presque sûrement.

Mauvaise application

Employer le deuxième lemme sans hypothèse d'indépendance (ou une dépendance faible appropriée) — la divergence de Σ P(En) seule n'implique pas infinitely souvent en présence d'une forte dépendance.

Conséquence

Fournit un critère simple et largement utilisé pour des assertions presque sûres sur des événements limsup ; soutient les preuves de convergence presque sûre, des lois zéro‑un et des recouvrements probabilistes.

Inversion

La réciproque du premier lemme échoue en général : Σ P(En)=∞ n'implique pas nécessairement infinitely souvent sans indépendance. Les dépendances peuvent produire soit moins soit plus d'occurrences que ce suggère la somme seule.

Limite

Nécessite un espace de probabilité et des événements mesurables ; le premier lemme tient sans indépendance, le second exige indépendance ou des hypothèses renforcées (la pairwise indépendance n'est pas suffisante en général).

Tension sémantique

Tension entre critère numérique de sommabilité et dépendance stochastique : la même condition Σ P(En)=∞ a des implications différentes selon l'indépendance, et 'Borel–Cantelli' peut renvoyer à l'un ou l'autre lemme, il faut préciser.

Synthèse

Borel‑Cantelli relie l'arithmétique des sommes de probabilités aux motifs d'occurrence presque sûre : la finitude des sommes impose la non‑occurrence éventuelle p.s., alors que la divergence entraîne l'occurrence infinie p.s. sous indépendance, en faisant un outil de base pour traduire des estimations de taille probabilistes en conclusions presque sûres à long terme.