Un par de enunciados fundamentales sobre secuencias de sucesos (En) en un espacio de probabilidad: (i) si la suma de probabilidades Σ P(En) es finita entonces la probabilidad de que ocurran infinitamente muchos En es cero (primer lema). (ii) si los En son independientes y Σ P(En) diverge entonces ocurrirán infinitamente muchos En con probabilidad uno (segundo lema).

Principio

La sumabilidad de las probabilidades de los sucesos controla la ocurrencia a largo plazo: suma finita implica ausencia eventual casi segura; divergencia combinada con independencia implica ocurrencia persistente casi segura.

Demostración

En lanzamientos de moneda, sea En el suceso de que el lanzamiento n sea cara con probabilidad p_n. Si Σ p_n < ∞ entonces casi seguramente sólo ocurren finitas caras en el patrón especificado. Si p_n son constantes positivas y los sucesos son independientes, Σ p_n = ∞ y ocurren infinitamente muchos a.s.

Aplicación incorrecta

Aplicar el segundo lema sin la hipótesis de independencia (o sin una condición de dependencia débil apropiada): la divergencia de Σ P(En) por sí sola no implica 'infinitas ocurrencias' en presencia de fuerte dependencia.

Consecuencia

Proporciona un criterio simple y ampliamente usado para afirmaciones casi seguras sobre sucesos limsup; sustenta pruebas de convergencia casi segura, leyes cero‑uno y recubrimientos probabilísticos.

Inversión

La recíproca del primer lema falla en general: Σ P(En)=∞ no implica necesariamente 'infinitas ocurrencias' sin independencia. Las dependencias pueden producir menos o más ocurrencias que las indicadas por la suma sola.

Límite

Requiere un espacio de probabilidad y sucesos medibles; el primer lema vale sin independencia, el segundo exige independencia u otras hipótesis reforzadas (la independencia par a par no suele ser suficiente).

Tensión semántica

Tensión entre criterio numérico de sumabilidad y dependencia estocástica: la misma condición Σ P(En)=∞ tiene diferentes implicaciones según la independencia, por lo que 'Borel‑Cantelli' puede referirse a uno u otro lema y debe aclararse.

Síntesis

Borel‑Cantelli une la aritmética de sumas de probabilidades con patrones de ocurrencia casi segura: la finitud de las sumas impone la no ocurrencia eventual a.s., mientras que la divergencia implica ocurrencia infinita a.s. bajo independencia, convirtiéndolo en una herramienta básica para traducir estimaciones probabilísticas en conclusiones a largo plazo casi seguras.