Un théorème qui caractérise les formes linéaires continues sur certains espaces vectoriels topologiques par des objets concrets : sur un espace de Hilbert H toute forme linéaire bornée s'écrit comme le produit scalaire avec un vecteur unique de H, et sur C0(X) (fonctions continues s'annulant à l'infini sur un espace localement compact de Hausdorff X) toute forme linéaire continue se représente comme l'intégrale par rapport à une mesure de Borel régulière signée (ou complexe) unique.

Principe

Identifier les éléments abstraits du dual avec des représentants géométriques ou métriques concrets afin que la dualité devienne une évaluation contre un objet canonique (un vecteur ou une mesure).

Démonstration

Dans L2([0,1]) toute forme linéaire bornée L admet un unique g dans L2 tel que L(f)=∫_0^1 f(x) g(x) dx, c'est-à-dire L(f)=⟨f,g⟩. Pour C([0,1]) le dual est l'espace des mesures de Borel régulières signées de masse finie et L(f)=∫ f dμ.

Mauvaise application

Présumer que la même représentation par produit scalaire vaut dans tous les espaces de Banach comme Lp pour p≠2, ou supposer une représentation par mesure pour tout espace de fonctions sans compacité locale ni hypothèse C0.

Conséquence

Transforme des questions abstraites sur le dual en objets analytiques concrets, permettant des constructions explicites, le calcul de normes et des descriptions spectrales ; facilite l'identification des adjoints et des noyaux.

Inversion

Les éléments du dual algébrique non continus, ou les formes linéaires continues sur des espaces dépourvus de la structure requise, ne s'écrivent pas comme produit scalaire ou intégrale ; le dual est alors strictement plus grand ou différent.

Limite

S'applique tel quel pour les espaces de Hilbert et pour C0(X) avec X localement compact de Hausdorff (ou compact pour C(X)) ; ne s'étend pas mot pour mot aux Banach quelconques, aux X non localement compacts, ni aux formes linéaires discontinues.

Tension sémantique

L'expression « représentation de Riesz » désigne aussi des résultats proches mais distincts (Riesz–Markov, lemme de Riesz, représentation en espaces de Hilbert), il faut préciser si l'on parle de la version produit scalaire ou mesure.

Synthèse

Le théorème de représentation de Riesz identifie les formes linéaires continues sur des espaces analytiques-clés avec des évaluateurs concrets — vecteurs dans les espaces de Hilbert ou mesures de Borel régulières sur des espaces topologiques appropriés — convertissant ainsi la dualité abstraite en intégration ou évaluation par produit scalaire.