Un teorema que caracteriza los funcionales lineales continuos en ciertos espacios vectoriales topológicos por objetos concretos: en un espacio de Hilbert H todo funcional lineal acotado se expresa como el producto interior con un vector único de H, y en C0(X) (funciones continuas que se anulan en el infinito sobre un espacio localmente compacto de Hausdorff X) todo funcional lineal continuo se representa como integración frente a una medida de Borel regular firmada (o compleja) única.

Principio

Identificar elementos del dual abstracto con representantes geométricos o medida‑teóricos explícitos para que la dualidad sea evaluación frente a un objeto canónico (vector o medida).

Demostración

En L2([0,1]) cada funcional lineal acotado L tiene un único g en L2 con L(f)=∫_0^1 f(x) g(x) dx, es decir L(f)=⟨f,g⟩. Para C([0,1]) el dual es el espacio de medidas de Borel regulares con masa finita y L(f)=∫ f dμ.

Aplicación incorrecta

Suponer que la misma representación por producto interior vale en cualquier espacio de Banach como Lp para p≠2, o asumir la representación por medida para espacios de funciones sin compacidad local ni la hipótesis C0.

Consecuencia

Convierte preguntas abstractas sobre el dual en objetos analíticos concretos, permitiendo construcciones explícitas, cálculo de normas y descripciones espectrales; facilita la identificación de adjuntos y núcleos.

Inversión

Los elementos del dual algebraico no continuos, o los funcionales continuos en espacios que carecen de la estructura necesaria, no pueden escribirse como producto interior o integral; el dual entonces es estrictamente mayor o distinto.

Límite

Se aplica tal cual para espacios de Hilbert y para C0(X) con X localmente compacto de Hausdorff (o compacto para C(X)); no se extiende literalmente a Banach arbitrarios, X no localmente compacto, ni a funcionales lineales discontinuos.

Tensión semántica

La expresión «representación de Riesz» también señala resultados relacionados pero distintos (Riesz–Markov, lema de Riesz, representación en espacios de Hilbert); es necesario precisar si se refiere a la versión por producto interior o por medida.

Síntesis

El teorema de representación de Riesz iguala los funcionales lineales continuos en espacios analíticos clave con evaluadores concretos — vectores en espacios de Hilbert o medidas de Borel regulares en espacios topológicos adecuados — convirtiendo la dualidad abstracta en evaluación por integral o producto interior.