L'inégalité triangulaire dans les espaces L^p : elle bornes la norme L^p d'une somme par la somme des normes L^p, établissant la propriété de norme pour 1 ≤ p ≤ ∞ et donc la structure métrique et linéaire des espaces L^p.

Principe

Pour 1 ≤ p ≤ ∞ et f,g dans L^p, ||f+g||_p ≤ ||f||_p + ||g||_p. L'inégalité découle de la convexité de t ↦ |t|^p (pour p≥1) et se démontre en utilisant l'inégalité de Hölder appliquée à des fonctions auxiliaires appropriées.

Démonstration

Exemple : pour des suites ℓ^p, Minkowski affirme (∑ |a_n + b_n|^p)^{1/p} ≤ (∑ |a_n|^p)^{1/p} + (∑ |b_n|^p)^{1/p}. Pour p=2, il s'agit de l'inégalité triangulaire dans l'espace euclidien des suites, vérifiable par des arguments de type parallélogramme ou par Hölder/Cauchy–Schwarz.

Mauvaise application

Appliquer Minkowski dans le régime quasi-norme 0

Conséquence

Minkowski confère une norme à L^p (pour p≥1), de sorte que L^p devient un espace vectoriel normé et, s'il est complet, un espace de Banach ; il soutient des résultats géométriques et fonctionnels sur la convergence et la continuité dans ces espaces.

Inversion

L'inégalité triangulaire inversée ||f||_p - ||g||_p ≤ ||f-g||_p fournit une borne complémentaire, et les cas d'égalité dans Minkowski caractérisent la colinéarité ou la proportionnalité des fonctions au sens des espaces normés.

Limite

Nécessite p≥1 pour être valable tel quel ; l'inégalité ne s'applique pas pour p<1 et suppose la mesurabilité et la finitude des normes considérées (valeurs finies des normes L^p).

Tension sémantique

La tension porte sur les espaces quasi-normés où l'inégalité triangulaire s'affaiblit, ainsi qu'entre Minkowski et Hölder puisque les preuves utilisent souvent Hölder et que les deux interagissent dans la géométrie de L^p.

Synthèse

L'inégalité de Minkowski affirme que la norme L^p satisfait l'inégalité triangulaire pour p≥1, faisant de L^p un espace vectoriel normé (et typiquement complet) et fournissant le cadre métrique de l'analyse.