La desigualdad triangular para los espacios L^p: acota la norma L^p de una suma por la suma de las normas L^p, estableciendo la propiedad de norma para 1 ≤ p ≤ ∞ y, por tanto, la estructura métrica y lineal de los espacios L^p.

Principio

Para 1 ≤ p ≤ ∞ y f,g en L^p se cumple ||f+g||_p ≤ ||f||_p + ||g||_p. La desigualdad proviene de la convexidad de t ↦ |t|^p (para p≥1) y puede demostrarse usando la desigualdad de Hölder con funciones auxiliares apropiadas.

Demostración

Ejemplo: en las sucesiones ℓ^p, Minkowski afirma (∑ |a_n + b_n|^p)^{1/p} ≤ (∑ |a_n|^p)^{1/p} + (∑ |b_n|^p)^{1/p}. Para p=2 es la desigualdad triangular de la norma euclídea en sucesiones, verificable por argumentos tipo paralelogramo o por Hölder/Cauchy–Schwarz.

Aplicación incorrecta

Aplicar Minkowski en el régimen cuasi-norma 0

Consecuencia

Minkowski dota a L^p de una norma (para p≥1), por lo que L^p es un espacio vectorial normado y, si es completo, un espacio de Banach; sustenta resultados geométricos y funcionales sobre convergencia y continuidad en estos espacios.

Inversión

La desigualdad triangular invertida ||f||_p - ||g||_p ≤ ||f-g||_p ofrece una cota complementaria, y los casos de igualdad en Minkowski caracterizan la colinealidad o proporcionalidad de funciones en sentido de espacios normados.

Límite

Requiere p≥1 para aplicarse tal como se enuncia; la desigualdad no se aplica para p<1 y presupone la mensurabilidad y finitud de las normas implicadas (valores finitos de las normas L^p).

Tensión semántica

Existe tensión con los espacios cuasi-normados donde la desigualdad triangular se debilita, y entre Minkowski y Hölder ya que las demostraciones suelen usar Hölder y ambos influyen en la geometría de L^p.

Síntesis

La desigualdad de Minkowski afirma que la norma L^p cumple la desigualdad triangular para p≥1, convirtiendo a L^p en un espacio vectorial normado (y típicamente completo) y suministrando el marco métrico del análisis.