Un nombre associé à un sous-ensemble borné d'un espace métrique ou de Banach qui mesure à quel point cet ensemble est éloigné d'être relativement compact ; le plus courant est la mesure de non-compacité de Kuratowski, l'infimum des rayons r pour lesquels l'ensemble se couvre par un nombre fini de boules de rayon r.

Principe

Quantification de la précompacité : plus le module est petit, plus l'ensemble est proche d'avoir une clôture compacte ; le module est nul exactement lorsque l'ensemble est relativement compact.

Démonstration

Dans un espace de Banach, un ensemble fini a module de non-compacité égal à 0. La boule unité fermée d'un espace de Banach de dimension infinie a un module strictement positif : il n'existe pas de recouvrement fini par des boules de rayon arbitrairement petit.

Mauvaise application

Utiliser ce module pour des ensembles non bornés sans restreindre la considération, ou confondre le module avec le diamètre de l'ensemble ; le module est un infimum de recouvrements finis, pas simplement la distance maximale entre paires de points.

Conséquence

Des valeurs ou estimations correctes du module de non-compacité permettent d'appliquer des théorèmes du point fixe pour opérateurs condensants, de formuler des critères de compacité en analyse fonctionnelle et d'obtenir un contrôle quantitatif dans les preuves d'existence pour des équations d'opérateurs.

Inversion

La perspective inversée est un module de compacité : une quantité qui serait grande lorsque l'ensemble est proche d'être compact et petite autrement ; ceci inverse l'ordre mais remplace rarement l'usage pratique des mesures de non-compacité standard.

Limite

Défini uniquement pour des ensembles bornés dans des espaces métriques ou normés (ou pour des opérateurs bornés via l'image de la boule unité) ; il dépend de la métrique choisie et diffère d'autres mesures (mesure de Hausdorff de non-compacité, mesure par boules) bien qu'elles soient souvent équivalentes à constantes près.

Tension sémantique

Tension entre différentes notions quantitatives (Kuratowski vs Hausdorff) et entre l'idée qualitative « non compact » et le module quantitatif ; le choix d'une variante inadaptée peut fausser des estimations ou des conclusions de compacité.

Synthèse

Le module de non-compacité transforme l'échec qualitatif de la précompacité en un invariant quantitatif unique : en prenant l'infimum des rayons de recouvrements finis, il fournit une échelle de la « non-compactitude » d'un ensemble borné, utile pour les arguments de point fixe et de compacité.