Una cantidad numérica asociada a un subconjunto acotado de un espacio métrico o de Banach que mide cuánto se aleja el conjunto de ser relativamente compacto; la medida de no compacticidad de Kuratowski es el infimo de radios r tales que el conjunto puede cubrirse por un número finito de bolas de radio r.

Principio

Cuantificación de la precompacidad: cuanto menor es el módulo, más cerca está un conjunto acotado de tener cierre compacto; el módulo es cero exactamente cuando el conjunto es relativamente compacto.

Demostración

En un espacio de Banach, un conjunto finito tiene módulo de no compacticidad igual a 0. La bola cerrada unidad de un espacio de Banach de dimensión infinita tiene módulo estrictamente positivo: no existe un recubrimiento finito con radios arbitrariamente pequeños.

Aplicación incorrecta

Aplicar el módulo a conjuntos no acotados sin restringir a subconjuntos acotados, o equiparar el módulo con el diámetro del conjunto; el módulo es un ínfimo sobre recubrimientos finitos, no simplemente la distancia máxima entre pares de puntos.

Consecuencia

Valores o estimaciones correctas del módulo de no compacticidad permiten aplicar teoremas de punto fijo para operadores condensantes, formular criterios de compacidad en análisis funcional y obtener control cuantitativo en argumentos de existencia para ecuaciones en operadores.

Inversión

La perspectiva invertida sería un módulo de compacidad: una medida que sería grande cuando un conjunto está cercano a ser compacto y pequeña en caso contrario; esto invierte el orden pero rara vez sustituye la utilidad práctica de las medidas de no compacticidad estándar.

Límite

Definido solo para conjuntos acotados en espacios métricos o normados (o para operadores acotados mediante la imagen de la bola unidad); depende de la métrica elegida y difiere de otras medidas de no compacticidad (medida de Hausdorff), aunque a menudo son equivalentes hasta constantes.

Tensión semántica

Tensión entre diferentes nociones cuantitativas (Kuratowski vs Hausdorff) y entre la idea cualitativa «no compacto» y el módulo cuantitativo; elegir la variante equivocada puede llevar a estimaciones o conclusiones de compacidad erróneas.

Síntesis

El módulo de no compacticidad transforma el fallo cualitativo de la precompacidad en un invariante cuantitativo único: tomando el ínfimo de radios de recubrimientos finitos, proporciona una escala de cuán «no compacto» es un conjunto acotado, útil en argumentos de punto fijo y compacidad.