Propriété asymptotique de fonctions positives à l'infini (ou en zéro) caractérisée par un comportement de loi de puissance : une fonction mesurable f est régulièrement variable à l'infini d'indice α si pour tout x>0, lim_{t→∞} f(tx)/f(t) = x^α. Pour α=0, la fonction est dite lentement variable.

Principe

La variation régulière traduit une autosimilarité asymptotique sous homothéties multiplicatives, ramenant le comportement en queue ou à grands arguments à un terme en t^α multiplié par un facteur lentement variable ; c'est l'idée organisatrice de la théorie de Karamata et des théorèmes taubériens.

Démonstration

Exemple usuel : f(t)=t^α L(t) pour α∈R avec L lentement variable, par exemple L(t)=(log t)^{β}. En probabilité, les lois à lourdes queues satisfont P(X>t) ∼ t^{-α}L(t), fournissant des queues de loi de puissance utiles dans les théorèmes limites.

Mauvaise application

Déduire la variation régulière à partir d'observations à échelle finie ou ajuster une loi de puissance sur un intervalle étroit ; traiter des facteurs oscillants qui ne se stabilisent pas asymptotiquement comme variation régulière ; ou prétendre une égalité exacte plutôt qu'une équivalence asymptotique.

Conséquence

La variation régulière donne des relations asymptotiques uniformes (représentation de Karamata, bornes de Potter), permet des approximations précises des queues, régit les domaines d'attraction des lois stables et rend possibles des théorèmes taubériens reliant transformées et queues.

Inversion

La variation rapide, où f(tx)/f(t) → ∞ ou 0 (pas d'indice de loi de puissance fini), ou une décroissance simple qui n'admet pas de mise à l'échelle multiplicative ; ou des fonctions à oscillation essentielle empêchant l'existence du rapport limite.

Limite

Définie pour des fonctions mesurables positives près de l'infini ou de zéro ; elle exclut les fonctions changeant de signe sauf en considérant le module ou les parties positive et négative séparément, et n'affirme pas un comportement de loi de puissance hors du régime asymptotique.

Tension sémantique

Il existe une tension avec les 'lois de puissance' empiriques et l'équivalence asymptotique simple : la variation régulière est une propriété limite sous mise à l'échelle multiplicative, plus forte que l'observation d'une décroissance approchée et distincte des décroissances lentes ou oscillatoires.

Synthèse

La variation régulière formalise la mise à l'échelle asymptotique en séparant un terme puissance et un facteur lentement variable, fournissant des outils uniformes (représentation, bornes, liens taubériens) pour convertir l'autosimilarité multiplicative en conclusions asymptotiques précises.