Propiedad asintótica de funciones positivas en el infinito (o en cero) caracterizada por una escala tipo ley de potencia: una función medible f es de variación regular en el infinito con índice α si para todo x>0, lim_{t→∞} f(tx)/f(t) = x^α. Si α=0, f es lentamente variable.

Principio

La variación regular codifica autosimilitud asintótica bajo reescalado multiplicativo, reduciendo el comportamiento de colas o de argumentos grandes a un término potencia t^α multiplicado por un factor lentamente variable; es la idea organizadora de la teoría de Karamata y de teoremas tauberianos.

Demostración

Ejemplo habitual: f(t)=t^α L(t) con α∈R y L lentamente variable, por ejemplo L(t)=(log t)^{β}. En probabilidad, las leyes de colas pesadas satisfacen P(X>t) ∼ t^{-α}L(t), proporcionando colas de ley de potencia usadas en teoremas límite.

Aplicación incorrecta

Asumir variación regular a partir de observaciones a escalas finitas o ajustar una ley de potencia en un rango estrecho; tratar factores oscilatorios que no se estabilizan asintóticamente como variación regular; o usarla para afirmar igualdad exacta en lugar de equivalencia asintótica.

Consecuencia

La variación regular da relaciones asintóticas uniformes (representación de Karamata, cotas de Potter), permite aproximaciones precisas de colas, gobierna los dominios de atracción de leyes estables y facilita teoremas tauberianos que relacionan transformadas y colas.

Inversión

Variación rápida, donde f(tx)/f(t) → ∞ o 0 (sin índice de potencia finito), o funciones que carecen de escalado multiplicativo; o funciones con oscilación esencial que impiden la existencia del cociente límite.

Límite

Definida para funciones medibles positivas cerca del infinito o de cero; excluye funciones que cambian de signo salvo que se considere el módulo o se separen las partes positiva y negativa, y no afirma comportamiento de ley de potencia fuera del régimen asintótico.

Tensión semántica

Existe tensión con los ajustes empíricos de 'ley de potencia' y con la mera equivalencia asintótica: la variación regular es una propiedad límite bajo reescalado multiplicativo, más fuerte que observar una decaimiento aproximado y distinta de decaimientos lentos u oscilatorios.

Síntesis

La variación regular formaliza la escala asintótica separando un término potencia y un factor lentamente variable, aportando herramientas uniformes (representación, cotas, vínculos tauberianos) para convertir la autosimilitud multiplicativa en conclusiones asintóticas precisas.