Application linéaire entre espaces vectoriels normés qui envoie ensembles bornés sur des ensembles bornés ; équivalemment, un opérateur linéaire continu sur tout l'espace et de norme d'opérateur finie.

Principe

La linéarité combinée à une majoration uniforme de l'action de l'opérateur sur les vecteurs unitaires garantit la continuité et le contrôle des images ; dans le cadre des espaces normés, bornitude et continuité sont équivalentes pour les applications linéaires.

Démonstration

Sur l'espace de Banach ℓ2, l'opérateur diagonal T défini par T((x_n))=(λ_n x_n) est borné si et seulement si sup_n |λ_n|<∞ ; dans les espaces euclidiens de dimension finie, tout opérateur linéaire est borné et sa norme coïncide avec la norme d'opérateur matricielle.

Mauvaise application

Considérer comme borné un opérateur densément défini mais non borné (par exemple la dérivation sur C[0,1] munie de la norme du suprémum) ou supposer la bornitude sans préciser le domaine et la topologie.

Conséquence

Pour un opérateur linéaire borné, on dispose d'une norme d'opérateur, de la continuité, de l'application de théorèmes tels que l'inverse borné et le graphe fermé sous hypothèses, et d'une stabilité par limites en norme d'opérateurs bornés.

Inversion

Un opérateur linéaire non borné n'est pas continu sur tout l'espace ; il doit souvent être traité avec un domaine adéquat et peut présenter des discontinuités ou des divergences sur des suites bornées.

Limite

La définition suppose des espaces vectoriels normés et des applications définies sur l'intégralité de l'espace ; elle exclut les opérateurs non bornés définis seulement sur un domaine dense, les opérateurs entre espaces topologiques non normés et les applications définies point par point qui ne respectent pas la bornitude.

Tension sémantique

« Borné » se confronte à « continu » (ici équivalents), à l'idée de bornitude restreinte à certains sous-ensembles versus bornitude globale, et à l'usage informel d'« opérateur borné » dans des contextes admettant des domaines non bornés ; la précision sur le domaine et la topologie dissipe la tension.

Synthèse

Un opérateur linéaire borné est une transformation linéaire continue sur des espaces normés caractérisée par une norme d'opérateur finie ; cette propriété relie l'algèbre linéaire au contrôle analytique des tailles d'images et rend applicables les théorèmes classiques de l'analyse fonctionnelle.