Aplicación lineal entre espacios vectoriales normados que envía conjuntos acotados en conjuntos acotados; equivalente a un operador lineal continuo en todo el espacio y que tiene norma de operador finita.

Principio

La linealidad junto con una cota uniforme sobre la acción del operador en vectores unitarios garantiza continuidad y control de las salidas; en espacios normados la acotación es equivalente a la continuidad para aplicaciones lineales.

Demostración

En el espacio de Banach ℓ2, el operador diagonal T dado por T((x_n))=(λ_n x_n) es acotado exactamente cuando sup_n |λ_n|<∞; en espacios euclidianos de dimensión finita todo operador lineal es acotado y su norma coincide con la norma de operador matricial.

Aplicación incorrecta

Tratar como acotado a un operador definido densamente pero no acotado (por ejemplo, la derivación en C[0,1] con la norma del supremo) o asumir acotación sin comprobar dominio y norma.

Consecuencia

Si un operador lineal es acotado, se dispone de una norma de operador, continuidad, posibilidad de aplicar teoremas como el del inverso acotado y el del gráfico cerrado bajo hipótesis, y estabilidad frente a límites en norma de operadores acotados.

Inversión

Un operador lineal no acotado no es continuo en todo el espacio; con frecuencia debe considerarse con un dominio apropiado y puede presentar discontinuidades o crecimiento incontrolado en sucesiones acotadas del dominio.

Límite

La definición presupone espacios vectoriales normados y aplicaciones definidas en todo el espacio; excluye operadores no acotados definidos solo en un dominio denso, operadores entre espacios topológicos no normados y aplicaciones definidas punto a punto que no respetan la acotación.

Tensión semántica

«Acotado» compite con «continuo» (aquí equivalentes), con la idea de acotación en subconjuntos versus acotación global, y con el uso informal de «operador acotado» en contextos que permiten dominios no acotados; la precisión sobre el dominio y la topología disipa la tensión.

Síntesis

Un operador lineal acotado es una transformación lineal continua entre espacios normados caracterizada por una norma de operador finita; esta propiedad conecta la linealidad algebraica con el control analítico del tamaño de las imágenes y permite la aplicación de teoremas clásicos del análisis funcional.