Un espace vectoriel topologique localement convexe dont la topologie est métrisable par une métrique invariante par translation et qui est complet pour cette métrique ; de façon équivalente, un espace vectoriel topologique complet, localement convexe et métrisable, généralement décrit par une famille dénombrable de sous-normes.

Principe

La topologie provient d'une famille dénombrable de sous-normes qui fournit une métrique invariante par translation ; la complétude pour cette métrique et la convexité locale organisent les propriétés analytiques et séquentielles de l'espace.

Démonstration

L'espace C^∞(R^n) des fonctions infiniment dérivables sur R^n muni des sous-normes p_{K,m}(f)=sup_{x∈K,|α|≤m}|∂^α f(x)| pour K compact et m entier est un espace de Fréchet : les sous-normes sont dénombrables en prenant une exhaustion par compacts et donnent une métrique complète invariante par translation.

Mauvaise application

Considérer comme espace de Fréchet tout espace vectoriel topologique métrisable et complet sans vérifier la convexité locale, ou supposer que tout espace de Fréchet est normable (c.-à-d. un espace de Banach) sans établir l'existence d'une norme continue.

Conséquence

Les méthodes séquentielles et les arguments de catégorie de Baire s'appliquent ; de nombreux théorèmes structurels reposant sur la métrisabilité et la complétude (graph fermé, application ouverte, inverse borné pour les applications linéaires entre espaces de Fréchet) deviennent disponibles.

Inversion

En supprimant la convexité locale on obtient parfois une F-espace dans la littérature : un espace vectoriel topologique métrisable et complet qui peut ne pas admettre de fonctionnelles linéaires continues non triviales ni de description par sous-normes.

Limite

Comprend tous les espaces de Banach (la norme fournit une métrique invariante par translation) mais exclut les espaces localement convexes complets qui ne sont pas métrisables et exclut les espaces localement convexes métrisables mais incomplets ; la notion dépend de la topologie et non seulement de la structure vectorielle.

Tension sémantique

Le terme espace de Fréchet (localement convexe + métrisable + complet) est souvent confondu avec le vocabulaire plus large « F-espace » (EVT métrisable et complet éventuellement non localement convexe) ; cette ambiguïté affecte l'existence du dual, l'application du Hahn–Banach et le comportement des produits tensoriels.

Synthèse

Un espace de Fréchet constitue le cadre analytique usuel réunissant une topologie engendrée par des sous-normes dénombrables, la métrisabilité par une métrique invariante et la complétude métrique, ce qui permet d'appliquer des techniques séquentielles et fonctionnelles tout en préservant la convexité locale.