Un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología es metrizable por una métrica invariante por traslaciones y que es completo respecto a esa métrica; equivalente a un espacio vectorial topológico completo, localmente convexo y metrizable, descrito habitualmente por una familia contable de seminormas.

Principio

La topología se genera por una familia contable de seminormas que proporciona una métrica invariante por traslaciones; la completitud frente a esa métrica y la convexidad local organizan las propiedades analíticas y de sucesiones del espacio.

Demostración

El espacio C^∞(R^n) de funciones suavemente diferenciables en R^n, con las seminormas p_{K,m}(f)=sup_{x∈K,|α|≤m}|∂^α f(x)| para K compacto y m entero, es un espacio de Fréchet: las seminormas son contables al tomar una exhaustión por compactos y dan una métrica completa invariante por traslaciones.

Aplicación incorrecta

Tratar como espacio de Fréchet a cualquier espacio vectorial topológico completamente metrizable sin comprobar la convexidad local, o suponer que todo espacio de Fréchet es normable (es decir, un espacio de Banach) sin verificar la existencia de una norma continua.

Consecuencia

Se pueden aplicar métodos secuenciales y argumentos de categoría de Baire; muchos teoremas estructurales que dependen de metrizabilidad y completitud (teorema del grafo cerrado, teorema de aplicación abierta, inversa acotada para mapas lineales entre espacios de Fréchet) están disponibles.

Inversión

Si se elimina la convexidad local aparece en la literatura el término F-espacio: un espacio vectorial topológico completo y metrizable que puede carecer de funcionales lineales continuos no triviales o de una descripción mediante seminormas.

Límite

Incluye todos los espacios de Banach (la norma proporciona una métrica invariante por traslaciones) pero excluye espacios localmente convexos completos que no son metrizables y excluye espacios localmente convexos metrizables pero incompletos; la propiedad depende de la topología y no solo de la estructura algebraica.

Tensión semántica

El término espacio de Fréchet (localmente convexo + metrizable + completo) a menudo se confunde con el más amplio 'F-espacio' (TVS completo y metrizable posiblemente no localmente convexo); esta tensión afecta la existencia del dual, la aplicación de Hahn–Banach y el comportamiento de productos tensoriales.

Síntesis

Un espacio de Fréchet es el marco analítico estándar que combina una topología generada por seminormas contables, metrizabilidad por una métrica invariante y completitud métrica, permitiendo aplicar técnicas secuenciales y funcionales mientras se conserva la convexidad local.