Un vaste réseau de conjectures et de théorèmes posant des liens profonds entre les représentations automorphes de groupes réductifs sur des corps globaux ou locaux et des représentations n-dimensionnelles (ou paramètres) des groupes de Galois absolus ou des groupes de Weil–Deligne ; souvent formulé via l'appariement des fonctions L et des compatibilités local-global.

Principe

L'idée organisatrice est un principe de réciprocité et de fonctorialité : les données galoisiennes arithmétiques et les données automorphes analytiques sont deux incarnations d'un même objet global, et les transferts entre groupes correspondent à des opérations naturelles sur les paramètres galoisiens.

Démonstration

Cas illustratif : l'énoncé de modularité pour certaines courbes elliptiques (instance classique d'un accouplement de type Langlands) affirme qu'une représentation galoisienne de dimension deux provient d'une forme modulaire ; localement, la correspondance locale de Langlands pour GL_n sur corps p-adiques met en correspondance représentations admissibles irréductibles et paramètres de Weil–Deligne de dimension n.

Mauvaise application

Prétendre l'existence générale de la correspondance dans des contextes encore ouverts, ou traiter les appariements automorphe–galoisiens comme des bijections élémentaires sans tenir compte des facteurs locaux, des fonctions L ou des conventions de normalisation ; interpréter des transferts fonctoriels comme des égalités inconditionnelles induit des erreurs.

Conséquence

Là où elle est disponible, la correspondance traduit des propriétés analytiques (fonctions L, décompositions spectrales) en informations arithmétiques (représentations galoisiennes, lois de réciprocité), permettant la construction de représentations galoisiennes à partir de formes automorphes et la prédiction d'invariants arithmétiques.

Inversion

Le tableau inverse serait l'absence d'un principe de réciprocité : les phénomènes automorphes analytiques et les phénomènes galoisiens arithmétiques resteraient déconnectés et les méthodes de l'un échoueraient à produire des analogues conjecturaux sur l'autre.

Limite

S'applique aux groupes réductifs sur corps locaux ou globaux et aux catégories appropriées d'objets automorphes/représentationnels ; de nombreuses formulations sont conjecturales, et la portée diffère entre local et global, entre fonctorialité groupe-à-groupe, et les cas établis (par exemple GL_n) et ceux qui restent ouverts.

Tension sémantique

On observe une tension entre les correspondances locales concrètes et démontrées (par ex. Langlands local pour GL_n) et les grandes affirmations globales/fonctorielles conjecturales ; de plus, la 'réciprocité de Langlands' peut être interprétée comme une bijection explicite d'objets ou comme un réseau de conditions de compatibilité entre invariants.

Synthèse

La correspondance de Langlands est le cadre directeur affirmant que représentations automorphes et paramètres galoisiens (ou de Weil–Deligne) sont des descriptions parallèles d'une même information arithmétique, organisant lois de réciprocité et transferts fonctoriels à la croisée de la théorie des nombres et de la théorie des représentations.