Una amplia red de conjeturas y teoremas que postulan relaciones profundas entre representaciones automorfas de grupos reductivos sobre cuerpos globales o locales y representaciones n-dimensionales (o parámetros) de los grupos de Galois absolutos o de los grupos de Weil–Deligne; a menudo se formula como un emparejamiento de funciones L y compatibilidades local-global.

Principio

La idea organizadora es un principio de reciprocidad y functorialidad: los datos aritméticos galoisianos y los datos automorfos analíticos son dos manifestaciones de un mismo objeto global, y las transferencias entre grupos corresponden a operaciones naturales sobre los parámetros galoisianos.

Demostración

Caso ilustrativo: la afirmación de modularidad para ciertas curvas elípticas (una instancia clásica de tipo Langlands) dice que una representación galoisiana de dimensión dos procede de una forma modular; localmente, la correspondencia local de Langlands para GL_n sobre cuerpos p-ádicos empareja representaciones admisibles irreducibles con parámetros Weil–Deligne de dimensión n.

Aplicación incorrecta

Asumir la correspondencia completa en contextos donde los casos siguen siendo abiertos, o tratar los emparejamientos automorfo–galoisianos como biyecciones elementales sin tener en cuenta factores locales, funciones L o convenciones de normalización; interpretar transferencias functoriales como igualdades incondicionales conduce a errores.

Consecuencia

Donde está disponible, la correspondencia traduce propiedades analíticas (funciones L, descomposiciones espectrales) en información aritmética (representaciones galoisianas, leyes de reciprocidad), permitiendo construir representaciones galoisianas a partir de formas automorfas y predecir invariantes aritméticos.

Inversión

La imagen inversa sería la ausencia de un principio de reciprocidad: los fenómenos automorfos analíticos y los fenómenos galoisianos aritméticos permanecerían desconectados y los métodos de un lado no producirían contrapartes conjecturales en el otro.

Límite

Se aplica a grupos reductivos sobre cuerpos locales o globales y a las categorías apropiadas de objetos automorfos/de representación; muchas formulaciones son conjeturales y el alcance difiere entre local y global, entre functorialidad grupo-a-grupo y casos conocidos solo para GL_n o grupos especiales.

Tensión semántica

Existe tensión entre las correspondencias locales concretas probadas (p. ej. Langlands local para GL_n) y las amplias afirmaciones globales/functoriales conjeturales; además, 'reciprocidad de Langlands' puede entenderse como una biyección explícita de objetos o como una red de condiciones de compatibilidad entre invariantes.

Síntesis

La correspondencia de Langlands es el marco orientador que sostiene que representaciones automorfas y parámetros galoisianos (o de Weil–Deligne) son descripciones paralelas de la misma información aritmética, organizando leyes de reciprocidad y transferencias functoriales entre teoría de números y teoría de representaciones.