Propriété d'un anneau, d'une algèbre, d'un module, d'un objet ou d'une catégorie indiquant qu'il ne peut pas être exprimé comme somme directe (ou équivalent catégorique) de constituants simples : il existe des extensions non triviales ou un radical non nul empêchant une décomposition complète.

Principe

La non-sémisimplicité est contrôlée par la présence d'extensions, d'endomorphismes nilpotents ou d'un radical de Jacobson (ou radical catégorique) non nul : si Ext^1 entre simples est non nul ou si des idéaux nilpotents persistent, la décomposition en somme directe échoue.

Démonstration

Scénario concret : sur un corps de caractéristique p, l'algèbre de groupe d'un p-groupe non trivial possède des modules projectifs non simples et présente des séries de Jordan–Hölder avec classes d'extension non triviales ; les simples existent mais les modules ne se scindent pas en sommes directes de simples.

Mauvaise application

Qualifier d'« non-sémisimple » un objet indécomposable isolé ou simplement non simple sans vérifier si la catégorie ambiante admet une décomposition sémisimple ; confondre non-simplicitité et non-simplicité dans des contextes où la sémisimplicité n'est pas la notion pertinente.

Conséquence

Si la non-sémisimplicité est présente, la classification doit intégrer les données d'extensions et les invariants homologiques : blocs, radicaux, recouvrements projectifs et phénomènes dans la catégorie dérivée deviennent essentiels et la classification par simples est insuffisante.

Inversion

Sémisimplicité : tout objet se décompose en somme directe de simples et les groupes d'extensions entre simples sont nuls, de sorte que les données de décomposition se réduisent à un multi-ensemble de types simples.

Limite

S'applique aux anneaux, algèbres, modules et catégories abéliennes ou additives ; dépend du corps de base et des hypothèses de finitude (dimension finie vs infinie) ; exclut les cadres où la sémisimplicité n'est pas définie (par ex. contextes non-additifs).

Tension sémantique

S'oppose à la notion d'indécomposabilité : un objet indécomposable peut être simple (donc sémisimple dans son propre sens), ainsi « non-sémisimple » ne doit pas être confondu avec « indécomposable » ni avec des notions plus faibles comme « non complètement réductible ».

Synthèse

La non-sémisimplicité est l'échec structurel de la décomposition complète en pièces simples, manifesté par des classes d'extension non nulles ou des radicaux ; la reconnaissance de ce phénomène déplace l'étude vers les extensions, la cohomologie et les résolutions projectives, et dans de nombreux cas liminaires il faut vérifier les hypothèses dépendant du corps et de la finitude pour trancher.