La propiedad de un anillo, álgebra, módulo, objeto o categoría que no puede expresarse como suma directa (o equivalente categórico) de constituyentes simples (semisimple); equivalente a la existencia de extensiones no triviales o de un radical no nulo que impide la descomposición completa.

Principio

La no semisimplicidad está gobernada por la presencia de extensiones, endomorfismos nilpotentes o un radical de Jacobson (o radical categórico) no nulo: si Ext^1 entre simples es no nulo o persisten ideales nilpotentes, la descomposición semisimple falla.

Demostración

Escenario concreto: sobre un cuerpo de característica p, el álgebra de grupo de un p-grupo no trivial tiene módulos proyectivos que no son simples y presenta series de Jordan–Hölder con clases de extensión no triviales; existen los simples pero los módulos no se escinden en sumas directas de simples.

Aplicación incorrecta

Etiquetar como 'no semisimple' a un objeto indecomponible o simplemente no simple sin verificar si la categoría ambiente admite una descomposición semisimple; confundir no semisimplicidad con no simplicidad o con nociones más débiles como 'no completamente reducible'.

Consecuencia

Cuando existe no semisimplicidad, la clasificación debe incorporar datos de extensión e invariantes homológicos: bloques, radicales, envolturas proyectivas y fenómenos en la categoría derivada son necesarios, y la clasificación por simples resulta insuficiente.

Inversión

Semisimplicidad: todo objeto se descompone como suma directa de simples y los grupos de extensión entre simples son nulos, de modo que los datos de descomposición se reducen a un multiconjunto de tipos simples.

Límite

Se aplica a anillos, álgebras, módulos y categorías abelianas o aditivas; depende del cuerpo base y de hipótesis de finitud (dimensión finita versus infinita); excluye marcos donde la semisimplicidad no está definida.

Tensión semántica

Compite con la noción de indecomponibilidad: un objeto indecomponible puede ser simple (por tanto trivialmente semisimple), por lo que 'no semisimple' no debe confundirse con 'indecomponible' ni con nociones vecinas como 'obstruido' o 'no completamente reducible'.

Síntesis

La no semisimplicidad es el fallo estructural de descomponer completamente en piezas simples, evidenciado por clases de extensión no nulas o radicales; reconocerla exige estudiar extensiones, cohomología y resoluciones proyectivas, y en muchos casos límite es necesario comprobar hipótesis dependientes del cuerpo y de la finitud.