Une algèbre telle que deux éléments distincts peuvent toujours être séparés par un homomorphisme vers une algèbre finie ; de manière équivalente l'intersection de toutes les congruences d'indice fini est la congruence triviale.

Principe

L'algèbre se laisse approcher par ses quotients finis : les éléments distincts restent distincts dans un certain quotient fini, ce qui permet de ramener certaines propriétés globales à des vérifications finies.

Démonstration

Le groupe cyclique infini Z est résiduellement fini car pour tout entier non nul on peut projeter Z sur Z/mZ avec m>|n| de sorte que des entiers distincts donnent des résidus distincts ; de même, les groupes libres et de nombreux groupes linéaires finiment engendrés sont résiduellement finis.

Mauvaise application

Conclure que la finie engendrabilité ou une présentation finie implique la résiduelle finitude ; ni la générabilité finie ni la présentation finie n'assurent que des éléments se séparent dans des quotients finis.

Conséquence

La résiduelle finitude entraîne souvent la décidabilité de certains problèmes de mot ou d'appartenance, permet l'inclusion dans une complétion profinie et autorise le transfert de propriétés depuis les quotients finis lorsque des hypothèses de séparabilité sont vérifiées.

Inversion

Une algèbre non résiduellement finie possède des éléments distincts qui ne peuvent être séparés par aucun quotient fini ; les techniques d'approximation finie échouent et certaines réductions algorithmiques ou structurelles ne s'appliquent pas.

Limite

La définition requiert une notion d'algèbres finies et d'homomorphismes pour la signature considérée ; elle exclut l'approximation par des quotients infinis bien comportés et ne dit rien sur la finitude locale ou la résiduelle p-finitude sans précision supplémentaire.

Tension sémantique

Notions voisines : « localement fini » (tout sous-algèbre finiment engendrée est finie) et « résiduellement p-fini » (séparation par quotients d'ordre puissance de p) ; la résiduelle finitude porte sur la séparation des points par quotients finis plutôt que sur la taille des sous-structures finiment engendrées.

Synthèse

Une algèbre résiduellement finie est déterminée par ses images homomorphes finies : tout couple d'éléments distincts reste distingué dans un certain quotient fini, permettant une approche par approximations finies.