Definición
Un álgebra en la que cualesquiera dos elementos distintos pueden separarse mediante un homomorfismo hacia algún álgebra finita; equivalentemente, la intersección de todas las congruencias de índice finito es la congruencia trivial.
Principio
Principio
El álgebra puede aproximarse por sus cocientes finitos: elementos distintos permanecen distintos en algún cociente finito, de modo que propiedades globales pueden reducirse a comprobaciones finitas en muchos casos.
Demostración
Demostración
El grupo cíclico infinito Z es residualmente finito porque para cualquier entero no nulo se puede proyectar Z en Z/mZ con m>|n| de manera que enteros distintos tienen residuos distintos; en general grupos libres y muchos grupos lineales finitamente generados son residualmente finitos.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Concluir que la finita generación o una presentación finita implica residual finiteness; ni la generación finita ni la presentación finita garantizan que los elementos se separen en cocientes finitos.
Consecuencia
Consecuencia
La residual finiteness suele conllevar decidibilidad de ciertos problemas de palabra o pertenencia, permite la inmersión en completaciones profinitas y facilita el traslado de propiedades desde cocientes finitos al álgebra cuando se cumplen hipótesis de separabilidad.
Inversión
Inversión
Un álgebra que no es residualmente finita tiene elementos distintos que no pueden separarse por ningún cociente finito, de modo que las técnicas de aproximación por finitos fallan y determinadas reducciones algorítmicas o estructurales se vuelven inaplicables.
Límite
Límite
La definición exige una noción de álgebras finitas y homomorfismos en la firma considerada; excluye la aproximación por cocientes infinitos bien comportados y no afirma nada sobre finitud local o residual p-finiteness salvo que se precise.
Tensión semántica
Tensión semántica
Nociones cercanas: 'localmente finito' (cada subálgebra finitamente generada es finita) y 'residualmente p-finito' (separación por cocientes cuyo orden es una potencia de p); la residual finiteness trata de separar puntos por cocientes finitos, no del tamaño de subestructuras finitamente generadas.
Síntesis
Síntesis
Un álgebra residualmente finita es aquella cuyos elementos siempre pueden distinguirse en algún cociente finito, de modo que el álgebra queda determinada por su familia de imágenes homomorfas finitas.