Une théorie du premier ordre dans une signature algébrique fixe dont les axiomes sont exclusivement des égalités de termes portées par une quantification universelle, et qui est close par conséquence en logique équationnelle.

Principe

Spécifier la structure algébrique uniquement par des identités ; la clôture par substitution, réflexivité, symétrie, transitivité de l'égalité et les règles de congruence engendre toutes les conséquences équationnelles.

Démonstration

La classe des monoïdes est définie par la théorie équationnelle avec un symbole binaire · et une constante e, axiomes (x·y)·z = x·(y·z), e·x = x, x·e = x ; tout modèle satisfaisant ces identités est un monoïde.

Mauvaise application

Considérer comme équationnelle une théorie qui exige des quantificateurs existentiels (par exemple « il existe un inverse pour chaque élément » sans introduire l'inverse comme symbole de fonction) ; ou ajouter des axiomes non équationnels comme des relations d'ordre ou des inégalités.

Conséquence

La classe de modèles est une variété : close par images homomorphes, sous-algèbres et produits directs arbitraires ; les théories équationnelles admettent des algèbres libres et une complétude syntaxique pour la conséquence équationnelle.

Inversion

Une théorie du premier ordre générale qui utilise des relations, des quantificateurs existentiels ou des disjonctions — une telle théorie n'est pas équationnelle car ses axiomes ne se récrivent pas uniquement comme des égalités universelles.

Limite

Limitée aux signatures munies de symboles de fonction et aux axiomes qui sont des égalités quantifiées universellement ; exclut les axiomes affirmant l'existence, les inégalités, l'ordre ou des contraintes relationnelles non équivalentes à des identités.

Tension sémantique

Entre théories équationnelles et théories universelles de Horn : toute théorie équationnelle est une théorie Horn universelle, mais les théories Horn peuvent exprimer des implications entre égalités qui ne se réduisent pas à de pures identités, créant un écart d'expressivité.

Synthèse

Une théorie équationnelle est l'ensemble syntaxique d'identités qui définissent une variété : une spécification purement équationnelle dont les modèles forment une classe close par homomorphismes, sous-algèbres et produits et qui admet des objets libres construits à partir de termes syntaxiques.