Una teoría del primer orden en una firma algebraica fija cuyos axiomas son exclusivamente ecuaciones entre términos cuantificadas universalmente, y que está cerrada bajo la relación de consecuencia de la lógica ecuacional.

Principio

Describir la estructura algebraica únicamente mediante identidades; el cierre por sustitución, reflexividad, simetría, transitividad de la igualdad y reglas de congruencia produce todas las consecuencias ecuacionales.

Demostración

La clase de monoides está dada por la teoría ecuacional con un símbolo binario · y una constante e, axiomas (x·y)·z = x·(y·z), e·x = x, x·e = x; todo modelo que satisfaga esas identidades es un monoide.

Aplicación incorrecta

Tratar como ecuacional una teoría que exige cuantificadores existenciales (por ejemplo, 'existe un inverso para cada elemento' sin introducir el inverso como símbolo de función) o añadir axiomas no ecuacionales como relaciones de orden o desigualdades.

Consecuencia

La clase de modelos es una variedad: cerrada bajo imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos arbitrarios; las teorías ecuacionales admiten álgebras libres y completitud sintáctica respecto de la consecuencia ecuacional.

Inversión

Una teoría del primer orden general que utilice relaciones, cuantificadores existenciales o disyunciones — tal teoría no es ecuacional porque sus axiomas no pueden reescribirse solo como ecuaciones universalmente cuantificadas.

Límite

Limitada a firmas con símbolos de función y axiomas que son igualdades cuantificadas universalmente; excluye axiomas que afirmen existencia, desigualdades, órdenes o restricciones relacionales no equivalentes a identidades.

Tensión semántica

Entre teorías ecuacionales y teorías Horn universales: toda teoría ecuacional es una teoría Horn universal, pero las Horn universales pueden expresar implicaciones entre ecuaciones que no se reducen a identidades puras, creando una brecha expresiva.

Síntesis

Una teoría ecuacional es el paquete sintáctico de identidades que definen una variedad: la especificación puramente ecuacional cuyos modelos forman una clase cerrada por homomorfismos, subálgebras y productos y que admite objetos libres construidos a partir de términos sintácticos.