Procédure constructive pour obtenir une présentation (générateurs et relations) d'un sous-groupe H d'un groupe G à partir d'une présentation de G ; en choisissant un transversale de Schreier on calcule des générateurs de Schreier pour H et on déduit les relations en réécrivant les relateurs de G en termes de ces générateurs.

Principe

Soulever des représentants de classes à gauche pour exprimer les éléments du sous-groupe comme mots en les générateurs originaux, produire les générateurs de Schreier à partir des transitions entre classes et traduire les relateurs ambiants par réécriture pour obtenir des relateurs du sous-groupe.

Démonstration

Étant donné G = ⟨S | R⟩ fini-présenté et un sous-groupe H d'indice fini, choisir une transversale de Schreier de H dans G, calculer les générateurs de Schreier t_{s,g} = s·g·rep(sg)^{-1} pour s∈S et représentants de classes g, et réécrire chaque relateur r∈R pour obtenir un ensemble fini de relateurs pour H ; par exemple, calculer la présentation d'un sous-groupe d'indice 2 d'un groupe libre donne un groupe libre de rang plus élevé déterminé explicitement par la formule de Schreier.

Mauvaise application

Appliquer la méthode sans s'assurer de l'indice fini ou en négligeant la tenue des représentants de classes peut conduire à des ensembles infinis ou redondants de générateurs et de relations ; simplifier naïvement les relateurs peut perdre des relations nécessaires et fournir une présentation incorrecte.

Conséquence

Lorsque la méthode est applicable, elle produit une présentation explicite (souvent finie) de H, montrant que les sous-groupes d'indice fini de groupes fini-présentés sont eux-mêmes fini-présentés et permettant des calculs explicites en théorie combinatoire et computationnelle des groupes.

Inversion

Le problème inverse — reconstruire la présentation de G à partir d'une présentation de H plus les données d'action sur les classes — n'est pas unique et est généralement plus compliqué ; les présentations de sous-groupes ne sont pas canoniques et dépendent des choix de transversale et de générateurs.

Limite

Exige une présentation de G et une description de H (souvent via des représentants de classes) ; les énoncés de finitude algorithmiques supposent en général que H ait indice fini et que la présentation de G soit finie — la méthode devient lourde voire non-terminante pour les sous-groupes d'indice infini ou des transversales mal spécifiées.

Tension sémantique

Le nom de la méthode est parfois confondu avec les mouvements de Reidemeister en théorie des nœuds ; la tension est surtout terminologique plutôt que mathématique — Reidemeister et Schreier sont impliqués dans des contextes combinatoires différents, d'où la nécessité de préciser qu'il s'agit de la présentation de sous-groupes.

Synthèse

La méthode Reidemeister–Schreier convertit systématiquement les données d'action sur les classes en générateurs et relations explicites du sous-groupe en construisant des générateurs de Schreier à partir d'une transversale et en réécrivant les relateurs ambiants, fournissant des présentations concrètes rendant la structure du sous-groupe calculable.