Ein konstruktives Verfahren zur Bestimmung einer Präsentation (Erzeuger und Relationen) eines Untergruppes H einer Gruppe G aus einer Präsentation von G; mit einer Schreier-Transversalberechnung bestimmt man Schreier-Erzeuger für H und leitet Relationen her, indem man die Relatoren von G in diese Erzeuger umschreibt.

Prinzip

Hebt Nebenklassenvertreter an, um Untergruppenelemente als Wörter in den ursprünglichen Erzeugern auszudrücken, erzeugt Schreier-Erzeuger aus den Übergängen zwischen Nebenklassen und übersetzt die Relatoren der Umgebung mittels Umschreiberegeln in Relationen für das Untergruppe.

Demonstration

Gegeben eine endlich präsentierte Gruppe G = ⟨S | R⟩ und ein Untergruppe H von endlichem Index, wähle eine Schreier-Transversal von H in G, berechne die Schreier-Erzeuger t_{s,g} = s g (rep(sg))^{-1} für s∈S und Nebenklassenvertreter g, und schreibe jedes Relator r∈R um, um eine endliche Menge von Relationen für H zu erhalten; etwa liefert die Berechnung einer Präsentation eines Index-2-Untergruppe eines freien Gruppen explizit eine freie Gruppe höheren Ranges gemäß der Schreier-Formel.

Fehlanwendung

Die Methode anzuwenden, ohne endlichen Index sicherzustellen oder die Aufzeichnung der Nebenklassenvertreter zu pflegen, kann zu unendlichen oder redundanten Mengen von Erzeugern und Relationen führen; naive Vereinfachungen an Relatoren können notwendige Relationen verlieren und eine falsche Präsentation erzeugen.

Konsequenz

Ist die Methode anwendbar, so erzeugt sie eine explizite (oft endliche) Präsentation von H und zeigt, dass Untergruppen endlichen Indexes von endlich präsentierten Gruppen selbst endlich präsentierbar sind, was explizite Berechnungen in der kombinatorischen und algorithmischen Gruppentheorie ermöglicht.

Umkehrung

Das inverse Problem — die Präsentation von G aus einer Präsentation von H und den Aktionen auf Nebenklassen zu rekonstruieren — ist nicht eindeutig und in der Regel komplizierter; Untergruppenpräsentationen sind nicht kanonisch und hängen von der Wahl der Transversalmenge und Erzeuger ab.

Abgrenzung

Erfordert eine Präsentation von G und eine Beschreibung von H (häufig durch Nebenklassenvertreter); algorithmische Finitätsaussagen setzen gewöhnlich endlichen Index von H und Endlichkeit der Präsentation von G voraus — die Methode wird umständlich oder nicht terminiert für Untergruppen unendlichen Indexes oder schlecht spezifizierte Transversalwerte.

Semantische Spannung

Der Methodenname wird mitunter mit Reidemeister-Bewegungen in der Knotentheorie verwechselt; die Spannung ist eher terminologisch als mathematisch — Reidemeister und Schreier wirken in verschiedenen kombinatorischen Kontexten, daher ist die Klarstellung, dass es um Untergruppendarstellungen geht, wichtig.

Synthese

Das Reidemeister–Schreier-Verfahren wandelt systematisch Nebenklassenaktionsdaten in explizite Untergruppenerzeuger und -relationen um, indem es Schreier-Erzeuger aus einer Transversalmenge konstruiert und die Relatoren der Obergruppe umschreibt, wodurch konkrete Präsentationen entstehen, die die Untergruppenstruktur berechenbar machen.