Un invariant réel strictement positif d'un corps de nombres, donné par la valeur absolue du déterminant d'une matrice dont les entrées sont les logarithmes des valeurs absolues d'un système d'unités fondamentales ; il mesure le covolume du réseau des unités dans l'espace réel des plongements.

Principe

Le théorème des unités de Dirichlet identifie la partie libre abélienne du groupe des unités et fournit un réseau dans un hyperplan réel ; le régulateur est le volume d'un parallélépipède fondamental pour ce réseau calculé à partir des plongements logarithmiques.

Démonstration

Pour le corps quadratique réel Q(√2), l'unité fondamentale est 1+√2 ; le régulateur est |log(1+√2)| (selon les conventions d'embedding), donnant un covolume concret en dimension 1 égal à la valeur absolue de ce logarithme.

Mauvaise application

Confondre le régulateur avec un décompte arithmétique comme le nombre de classes, l'utiliser sans tenir compte du choix d'unités fondamentales et des signes selon les plongements, ou tenter de le définir pour des corps à groupe d'unités fini.

Conséquence

Le régulateur intervient multiplicativement dans la formule analytique du nombre de classes avec la classe de nombres et le facteur des racines de l'unité ; il mesure la taille de la partie libre des unités et influe sur la distribution des unités et les problèmes diophantiens de hauteur.

Inversion

Un régulateur très petit indique un réseau d'unités très dense (petit covolume), tandis qu'un régulateur très grand indique des unités fondamentales espacées et une structure multiplicative peu dense ; un régulateur nul correspond à l'absence de partie libre (groupe d'unités fini).

Limite

Défini pour les corps globaux de rang d'unités infini tels que les corps de nombres ; pour les corps à groupe d'unités fini (par ex. corps finis) le régulateur est inapplicable ou nul ; c'est un invariant archimédien et il n'encode pas les tailles p-adiques des unités.

Tension sémantique

Proche des mesures de taille comme la mesure de Mahler ou les hauteurs d'unités, mais conceptuellement différent car il s'agit d'un covolume de réseau obtenu par logarithmes d'embeddings et non d'un simple produit de valeurs absolues ; il interagit avec la classe de nombres plutôt que de compter des idéaux.

Synthèse

Le régulateur est le covolume réel positif extrait de l'image logarithmique des unités fondamentales ; il quantifie la taille géométrique du réseau libre des unités et figure dans des formules arithmétiques centrales aux côtés du nombre de classes.