Un invariante real positivo de un cuerpo de números, dado por el valor absoluto del determinante de una matriz cuyas entradas son los logaritmos de los valores absolutos de un sistema de unidades fundamentales; mide el covolumen de la red de unidades en el espacio real de las inmersiones.

Principio

El teorema de unidades de Dirichlet identifica la parte libre del grupo de unidades como una red en un hiperplano real; el regulador es el volumen de un paralelepípedo fundamental de esa red, calculado a partir de las inmersiones logarítmicas.

Demostración

Para el cuerpo cuadrático real Q(√2), la unidad fundamental es 1+√2; el regulador es |log(1+√2)| (según convenciones de inmersión), proporcionando en dimensión uno un covolumen concreto igual al valor absoluto de ese logaritmo.

Aplicación incorrecta

Tratar el regulador como un recuento aritmético similar al número de clases o usarlo sin considerar la elección de unidades fundamentales y las convenciones de signo según las inmersiones, o intentar definirlo para cuerpos con grupo de unidades finito.

Consecuencia

El regulador aparece multiplicativamente en la fórmula analítica del número de clases junto con la clase de ideales y el factor de raíces de la unidad; cuantifica el tamaño de la parte libre de unidades e influye en la distribución de unidades y en problemas diofánticos de alturas.

Inversión

Un regulador muy pequeño indica una red de unidades muy densa (pequeño covolumen), mientras que un regulador muy grande indica unidades fundamentales espaciadas y una estructura multiplicativa dispersa; un regulador cero significa ausencia de parte libre (grupo de unidades finito).

Límite

Se define para cuerpos globales con rango de unidades infinito como los cuerpos de números; para cuerpos con grupo de unidades finito (por ejemplo cuerpos finitos) el regulador es inaplicable o nulo; es un invariante arquimediano y no codifica tamaños p-ádicos de unidades.

Tensión semántica

Relacionado con medidas de tamaño como la medida de Mahler o las alturas de unidades, pero conceptualmente distinto porque es un covolumen de red derivado de logaritmos de inmersiones y actúa junto con el número de clases en la aritmética.

Síntesis

El regulador es el covolumen real positivo extraído de la inmersión logarítmica de unidades fundamentales; cuantifica el tamaño geométrico de la red libre de unidades y figura en fórmulas aritméticas centrales junto al número de clases.