Opération consistant à adjoindre une nouvelle variable (souvent z ou t) et à multiplier les termes de sorte qu'un polynôme devienne homogène d'un degré total fixé, produisant un polynôme homogène en variables étendues.

Principe

L'homogénéisation plonge les polynômes affines dans un anneau gradué de manière à préserver le degré total ; elle convertit des données affines en données projectives en ajoutant une coordonnée projective, permettant une gestion uniforme des degrés et l'emploi des techniques de géométrie projective.

Démonstration

Pour f(x,y) = x^2 + y + 1 de degré 2, son homogénéisé de degré 2 en z est f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2. Le polynôme homogène ainsi obtenu décrit la clôture projective de la courbe affine définie par f.

Mauvaise application

Homogénéiser sans choisir un degré cible cohérent ou oublier d'ajuster les termes de degré inférieur conduit à des homogénéisations incorrectes ; homogénéiser sans précaution peut introduire des composantes extrinsèques sur l'hyperplan à l'infini si on les interprète mal ensuite.

Conséquence

L'homogénéisation fournit un polynôme homogène décrivant une variété projective ou la clôture projective d'une variété affine, ce qui permet l'utilisation de coordonnées homogènes, de raisonnements basés sur les degrés et de théorèmes de type Bézout.

Inversion

Déshomogénéisation : fixer la variable d'homogénéisation à un scalaire non nul (souvent 1) pour récupérer un représentant affine dans une carte choisie.

Limite

Dépend de la variable d'homogénéisation choisie et du degré cible ; non unique si l'on choisit des degrés différents. Fonctionne pour des polynômes sur tout anneau ou corps de coefficients mais requiert une gestion cohérente des coefficients et des degrés dominants ; n'est pas directement applicable aux séries formelles sans troncature.

Tension sémantique

Tension entre l'homogénéisation comme plongement gradué formel et comme passage géométrique à la clôture projective ; tension aussi entre différentes conventions pour la variable d'homogénéisation et le degré cible.

Synthèse

L'homogénéisation élève systématiquement les polynômes affines en polynômes homogènes en ajoutant une coordonnée projective et en ajustant les degrés, permettant les méthodes projectives et une gestion cohérente des degrés tout en étant réversible sur des cartes affines appropriées.