La operación de añadir una nueva variable (comúnmente z o t) y multiplicar términos para que un polinomio sea homogéneo de un grado total fijo, produciendo un polinomio homogéneo en un conjunto ampliado de variables.

Principio

La homogeneización inserta polinomios afines en un anillo graduado de modo que se preserve el grado total; convierte datos algebraicos afines en datos proyectivos mediante la adición de una coordenada proyectiva, permitiendo una contabilidad uniforme de grados y técnicas geométricas proyectivas.

Demostración

Dado f(x,y) = x^2 + y + 1 de grado 2, su homogeneización al grado 2 con variable z es f_h(x,y,z) = x^2 + y z + z^2. El polinomio homogeneizado define el cierre proyectivo de la curva afín definida por f.

Aplicación incorrecta

Homogeneizar sin elegir un grado objetivo coherente o olvidar escalar los términos de menor grado produce homogeneizaciones incorrectas; aplicar la homogeneización sin cuidado puede introducir componentes extrañas en el hiperplano en el infinito si se interpretan mal después.

Consecuencia

La homogeneización produce un polinomio homogéneo que describe una variedad proyectiva o el cierre proyectivo de una variedad afín, permitiendo el uso de coordenadas homogéneas, argumentos por grados y teoremas de tipo Bézout.

Inversión

Deshomogeneización: fijar la variable de homogeneización a un escalar no nulo (habitualmente 1) para recuperar un representante afín en una carta escogida.

Límite

Depende de la variable de homogeneización elegida y del grado objetivo; no es única si se escogen distintos grados objetivo. Funciona para polinomios sobre cualquier anillo o cuerpo de coeficientes pero requiere trato coherente de coeficientes y grados principales; no es directamente aplicable a series formales sin truncamiento.

Tensión semántica

Tensión entre la homogeneización como incrustación graduada formal y como paso geométrico al cierre proyectivo; también tensión entre distintas convenciones para la variable de homogeneización y el grado objetivo.

Síntesis

La homogeneización eleva sistemáticamente polinomios afines a homogéneos añadiendo una coordenada proyectiva y ajustando grados, habilitando métodos proyectivos y una gestión coherente de grados, siendo reversible en cartas afines adecuadas.