Processus algorithmique, en particulier la méthode Todd–Coxeter, pour lister ou compter les cosets distincts (à gauche ou à droite) d'un sous-groupe H dans un groupe ambiant G donné par une présentation ; la sortie peut être une table de cosets, un indice ou une action par permutations sur les cosets.

Principe

Construire systématiquement une table de cosets en introduisant des symboles de coset et en appliquant les générateurs, les relations et la définition du sous-groupe pour identifier et fusionner des cosets jusqu'à fermeture ou contradiction ; la stratégie Todd–Coxeter propage les identifications jusqu'à ce qu'aucune nouvelle information n'apparaisse ou que les conditions d'arrêt échouent.

Démonstration

À partir d'une présentation d'un groupe fini G et d'un sous-groupe H d'indice fini, exécuter la procédure Todd–Coxeter pour remplir une table de cosets ; par exemple, énumérer les cosets d'un sous-groupe d'indice 6 produit une table de six étiquettes de cosets et la représentation par permutations induite de G sur ces étiquettes.

Mauvaise application

Appliquer l'énumération de cosets sans précaution à un sous-groupe d'indice infini ou à une présentation mal choisie et interpréter la non-terminaison comme preuve de non-existence ; la non-terminaison peut dépendre de la présentation ou de l'algorithme et non de la finitude du sous-groupe.

Conséquence

En cas de succès, l'énumération des cosets fournit l'indice [G:H], des représentants explicites de cosets et souvent une représentation par permutations de G sur les cosets, ce qui facilite l'exploration du treillis des sous-groupes et des actions de groupe calculables.

Inversion

Plutôt que d'énumérer les cosets de H dans G, énumérer les cosets de G dans un sur-groupe plus grand ou énumérer des double-cosets H\G/K ; l'inversion replace l'objectif sur les relations entre sous-groupes ou sur-groupes.

Limite

Efficace quand H a un indice fini ou lorsque la présentation permet la terminaison ; les ressources de calcul et le choix de présentation peuvent empêcher l'achèvement ; la méthode ne donne pas, sans calculs supplémentaires, des propriétés structurelles de H au-delà de l'indice et de l'action.

Tension sémantique

Énumération des cosets versus méthodes de Reidemeister–Schreier et graphes de Schreier : l'énumération construit des tables explicites et des indices, tandis que les techniques de Schreier produisent des présentations de sous-groupes — réponses différentes à des besoins distincts.

Synthèse

L'énumération des cosets construit algorithmiquement l'ensemble des cosets d'un sous-groupe en développant et identifiant des étiquettes de cosets sous les relations des générateurs ; quand elle termine pour un indice fini on obtient une table de cosets, un indice et une action qui intègrent les données de présentation en information combinatoire explicite sur la position du sous-groupe.