Ein algorithmischer Prozess, insbesondere die Todd–Coxeter-Methode, zum Auflisten oder Zählen der verschiedenen (Links- oder Rechts-)Nebenklassen eines Untergruppes H in einer übergeordneten Gruppe G, die durch eine Präsentation gegeben ist; Ausgabe kann eine Nebenklassentabelle, der Index oder eine Permutationswirkung auf den Nebenklassen sein.

Prinzip

Systematischer Aufbau einer Nebenklassentabelle durch Einführen von Nebenklassenlabeln und Anwendung von Erzeugern, Relationen und Untergruppendefinitionen zum Identifizieren und Verschmelzen von Nebenklassen, bis Abschluss oder Widerspruch auftreten; die Todd–Coxeter-Strategie propagiert Identifikationen, bis keine neuen Informationen mehr entstehen oder Abbruchbedingungen versagen.

Demonstration

Mit einer Präsentation einer endlichen Gruppe G und einer Untergruppe H von endlichem Index führt man das Todd–Coxeter-Verfahren aus, um eine Nebenklassentabelle zu füllen; z. B. die Aufzählung der Nebenklassen eines Untergruppes vom Index 6 ergibt eine Tabelle mit sechs Nebenklassenbezeichnungen und die induzierte Permutationsdarstellung von G auf diesen Bezeichnungen.

Fehlanwendung

Das blinde Anwenden der Nebenklassenenumeration auf eine Untergruppe unendlichen Index oder auf eine schlecht gewählte Präsentation und das Interpretieren von Nichtterminierung als Beweis für Nichtexistenz; Nichtterminierung kann von der Präsentation oder dem Algorithmus abhängen, nicht von der Endlichkeit der Untergruppe.

Konsequenz

Bei Erfolg liefert die Nebenklassenenumeration den Index [G:H], explizite Nebenklassenvertreter und oft eine Permutationsdarstellung von G auf den Nebenklassen, was die Erforschung des Untergruppengitters und berechenbarer Gruppenwirkungen erleichtert.

Umkehrung

Statt die Nebenklassen von H in G zu aufzuzählen, zählt man die Nebenklassen von G in einer größeren Übergruppe oder zählt Doppelnachklassen H\G/K; die Umkehrung verlagert das Ziel von Untergruppenindizes zu Relationen zwischen Unter- oder Übergruppen.

Abgrenzung

Wirksam, wenn H endlichen Index hat oder die Präsentation Terminierung zulässt; Rechenressourcen und Präsentationswahl können die Fertigstellung verhindern; die Methode liefert ohne weitere Rechnungen keine strukturellen Eigenschaften von H außer Index und Wirkung.

Semantische Spannung

Nebenklassenenumeration versus Reidemeister–Schreier- und Schreiergraph-Methoden: Enumeration erzeugt explizite Tabellen und Indizes, während Schreier-Techniken Untergruppenpräsentationen konstruieren — überlappende, aber unterschiedliche praktische Ziele.

Synthese

Die Nebenklassenenumeration konstruiert algorithmisch die Menge der Nebenklassen eines Untergruppes durch Ausdehnen und Identifizieren von Nebenklassensymbolen gemäß den Relationen der Erzeuger; bei Terminierung für endlichen Index erhält man eine Nebenklassentabelle, Index und Wirkung und wandelt Präsentationsdaten in explizite kombinatorische Informationen über die Stellung des Untergruppes um.