Procédure qui détermine le normalisateur N_G(S) = {g dans G | gSg^{-1} = S} d'un sous-ensemble ou d'un sous-groupe S fixé dans un groupe ambiant G ; le résultat est le sous-groupe constitué de tous les éléments qui conjuguent S sur lui-même.

Principe

Repérer tous les éléments du groupe dont l'action par conjugaison préserve l'ensemble S ; cela se traduit par des tests des relations de conjugaison ou par la construction d'informations de stabilisateur dans des représentations par permutations ou présentations.

Démonstration

Dans le groupe symétrique S4, calculer le normalisateur du sous-groupe engendré par la transposition (1 2). On cherche les permutations g telles que g(1 2)g^{-1} = (1 2) ; le normalisateur est alors le sous-groupe engendré par (1 2) et par les permutations qui permutent les points fixes, donnant un sous-groupe d'ordre 4.

Mauvaise application

Supposer que le normalisateur coïncide avec le centralisateur (les éléments qui commutent avec chaque élément de S) sans vérification ; cette hypothèse échoue lorsque la conjugaison permute non trivialement les éléments de S.

Conséquence

Un calcul correct fournit le plus grand sous-groupe de G dans lequel S est normal, ce qui permet des constructions de quotients, le calcul d'indices et la détermination des tailles de classes de conjugaison ; il fournit aussi le stabilisateur de S pour l'action par conjugaison.

Inversion

Au lieu de calculer les éléments qui fixent S par conjugaison, calculer l'ensemble des éléments qui envoient S sur une autre conjugée S' (un transporteur) ; l'attention se déplace ainsi du stabilisateur vers le transporteur entre conjugées.

Limite

Portée limitée aux modèles de groupes bien définis ; la faisabilité computationnelle dépend de la présentation du groupe, de la taille des indices et du fait que G soit fini ou donné par une représentation effective ; la méthode ne résout pas la normalité dans des groupes ambiants non représentés.

Tension sémantique

Normalisateur versus centralisateur versus stabilisateur : le normalisateur concerne la préservation ensembliste par conjugaison, le centralisateur exige la commutation élément par élément, et le stabilisateur est le terme général d'action de groupe — ces notions coïncident seulement dans des cas particuliers.

Synthèse

Le calcul du normalisateur regroupe toutes les symétries par conjugaison d'un sous-ensemble S en un sous-groupe N_G(S) ; conceptuellement c'est le stabilisateur de S pour l'action par conjugaison, obtenu par tests ou construction et servant de plus grand sous-groupe de G dans lequel S est normal.