Collection d'objets O(n) (espaces, ensembles, espaces vectoriels, ...) indexés par l'arité n, munie de lois de composition et d'une unité satisfaisant l'associativité, l'équivalence par permutation (si symétrique) et les lois d'unité ; encode des types d'algèbres en spécifiant des opérations n-aires abstraites et leurs compositions.

Principe

Les principes organisateurs sont l'arité, la composition et l'action éventuelle des groupes symétriques : des opérations multilineaires complexes se construisent à partir d'opérations plus simples via des règles de composition cohérentes qui respectent la permutation des entrées lorsque requis.

Démonstration

L'opérade des endomorphismes End_V avec End_V(n) = Hom(V^{⊗ n}, V) et composition par substitution de fonctions multilineaires ; les algèbres sur l'opérade associative sont les algèbres associatives, celles sur l'opérade commutative sont les algèbres commutatives.

Mauvaise application

Confondre une opérade avec une algèbre sur cette opérade (prendre l'opérade elle-même pour une instance algébrique) ou ignorer l'action du groupe symétrique lorsque nécessaire conduit à une mauvaise classification des opérations et à l'ignorance de symétries essentielles.

Conséquence

Les opérades organisent et classifient les types d'algèbres et leurs variantes homotopiques, permettent le transfert d'opérations via des morphismes d'opérades et fournissent un langage pour composer de manière cohérente des opérations multilineaires et supérieures, utile en topologie et en algèbre homologique.

Inversion

Passer à une PROP, un monade ou une multicatégorie met en évidence d'autres primitives : les PROP permettent plusieurs sorties, les monades encodent des structures algébriques via des endofoncteurs, et les multicatégories assouplissent la symétrie ou le typage.

Limite

Les opérades mono-couleur standard décrivent des opérations à une sortie et entrées finies ; elles n'incluent pas les opérations à sorties multiples sauf généralisation en PROP ; les opérades multi-couleurs ou modulaires élargissent le champ aux entrées typées, graphes et considérations de genre.

Tension sémantique

Tension avec monades, PROP et multicatégories pour l'expression des structures algébriques ; la question est de savoir s'il faut privilégier la composition fondée sur l'arité (opérades) ou l'encodage via des monades endofonctorielles ou des PROP multi-entrée/sortie.

Synthèse

Une opérade est un dispositif algébrique qui précise la façon dont des opérations de diverses arités finies se composent et se permutent, encodant ainsi de façon uniforme et composable des familles entières de structures algébriques et leurs compositions cohérentes.