Colección de objetos O(n) (espacios, conjuntos, espacios vectoriales, etc.) para cada número natural n (aridad) junto con mapas de composición y unidad que satisfacen asociatividad, equivarianza (si es simétrica) y leyes de unidad; codifica tipos de álgebras mediante operaciones n-arias abstractas y sus composiciones.

Principio

Los principios organizadores son la aridad, la composición y las acciones del grupo simétrico cuando proceda: operaciones multilineales complejas se construyen a partir de otras más simples mediante reglas de composición coherentes que respetan la permutación de entradas.

Demostración

La operad de endomorfismos End_V con End_V(n) = Hom(V^{⊗ n}, V) y composición operádica por sustitución de mapas multilineales; las álgebras sobre la operad asociativa son las álgebras asociativas y sobre la operad conmutativa las álgebras conmutativas.

Aplicación incorrecta

Confundir una operad con un álgebra sobre esa operad (tratar la operad como una instancia algebraica) o ignorar la acción del grupo simétrico cuando es relevante conduce a clasificaciones erróneas y pérdida de simetrías esenciales.

Consecuencia

El uso de operads organiza y clasifica tipos de estructuras algebraicas y sus variantes homotópicas, permite transferir operaciones mediante morfismos de operads y ofrece un lenguaje para componer operaciones multilineales y superiores de forma coherente, útil en topología y álgebra homológica.

Inversión

Volver a una PROP, un mónada o una multicategoría resalta primitivas distintas: las PROPs codifican operaciones con múltiples salidas, las mónadas empaquetan estructuras algebraicas vía endofuntores y las multicategorías relajan simetría o tipado.

Límite

Las operads mono-color estándar capturan operaciones con una salida y entradas finitas; excluyen operaciones con múltiples salidas salvo generalizaciones (PROPs); las operads multicolor o modulares amplían el ámbito a entradas tipadas, grafos y consideraciones de género.

Tensión semántica

Compite con mónadas, PROPs y multicategorías para expresar estructuras algebraicas; la tensión es si privilegiar la composición basada en aridad (operads) o codificar como mónadas endofuntores o PROPs multi-entrada/salida.

Síntesis

Una operad es un dispositivo algebraico que especifica cómo se componen y permutan operaciones de diversas aridades finitas, codificando familias enteras de estructuras algebraicas y sus composiciones coherentes en un marco uniforme.