Un ensemble muni d'une opération binaire telle que pour tous éléments a et b il existent des éléments uniques x et y vérifiant a * x = b et y * a = b. Équivalemment, la table de multiplication est un carré latin ; aucune identité n'est exigée.

Principe

La structure est gouvernée par la divisibilité et l'unicité : la division à gauche et à droite par tout élément est toujours solvable et donne des solutions uniques, offrant un comportement de type simplifiable sans assocativité ni identité.

Démonstration

Les quasigroupes finis se manifestent comme des carrés latins : prendre un carré latin 3×3 et interpréter les lignes et colonnes comme facteurs gauche et droite pour obtenir une opération de quasigroupe avec la propriété d'unicité de a * x = b et y * a = b.

Mauvaise application

Supposer l'associativité ou l'existence d'un élément neutre alors que seule la solvabilité unique est garantie ; traiter tout quasigroupe comme un groupe conduit à des conclusions erronées sur les produits ou les puissances.

Conséquence

Une identification correcte conduit à des constructions combinatoires (carrés latins), à des boucles lorsque l'on adjoint une identité, et à des systèmes algébriques où résoudre a * x = b est toujours possible et unique.

Inversion

Supprimer l'unicité de la division donne des magmas ou des groupoïdes (au sens de l'algèbre universelle) où les équations peuvent avoir plusieurs ou aucune solution ; imposer l'associativité et une identité ramène à la notion de groupe.

Limite

S'applique aux opérations binaires sur des ensembles satisfaisant la propriété latine bilatérale ; exclut les semi-groupes, monoïdes, groupes (qui ajoutent une structure), et les opérations partielles ne fournissant pas de solutions globales uniques.

Tension sémantique

Tension entre « quasigroupe » et « groupe » : tous deux permettent la division, mais un groupe impose en plus l'associativité et l'existence d'une identité ; un quasigroupe préserve la solvabilité tout en relâchant ces contraintes.

Synthèse

Un quasigroupe est une structure algébrique non associative déterminée par l'exigence que la division gauche et droite admette toujours des solutions uniques ; il se situe entre le magma nu et le groupe, central en théorie combinatoire.