Un conjunto con una operación binaria tal que para cualesquiera a y b existen únicos x e y que cumplen a * x = b y y * a = b. Equivalente a que la tabla de multiplicación sea un cuadrado latino; no se requiere elemento identidad.

Principio

La idea organizadora es divisibilidad y unicidad: la división por la izquierda y por la derecha por cualquier elemento siempre es resoluble y da soluciones únicas, proporcionando un comportamiento de cancelación sin asumir asociatividad o identidad.

Demostración

Los cuasigrupos finitos aparecen como cuadrados latinos: tomar un cuadrado latino 3×3 e interpretar filas y columnas como factores izquierdo y derecho para obtener una operación de cuasigrupo con solvabilidad única de a * x = b y y * a = b.

Aplicación incorrecta

Suponer asociatividad o existencia de un elemento neutro cuando sólo se garantiza la solvabilidad única; tratar todo cuasigrupo como un grupo conduce a conclusiones erróneas sobre productos o potencias.

Consecuencia

Una identificación correcta conduce a construcciones combinatorias (cuadrados latinos), a bucles cuando se adjunta una identidad, y a sistemas algebraicos en los que resolver a * x = b es siempre posible y único.

Inversión

Si se elimina la unicidad de la división, se obtienen magmas o groupoids (en sentido de álgebra universal) en los que las ecuaciones pueden tener múltiples o ninguna solución; imponer asociatividad e identidad reduce al concepto de grupo.

Límite

Se aplica a operaciones binarias en conjuntos que satisfacen la propiedad latina bilateral; excluye semigrupos, monoides, grupos (que añaden estructura) y operaciones parciales que no dan soluciones globales únicas.

Tensión semántica

Tensión entre 'cuasigrupo' y 'grupo': ambos permiten división, pero un grupo además exige asociatividad y un elemento identidad; un cuasigrupo mantiene la solvabilidad relajando esas restricciones.

Síntesis

Un cuasigrupo es una estructura algebraica no asociativa determinada por la exigencia de que la división izquierda y derecha siempre tenga soluciones únicas; se sitúa entre un magma y un grupo y es central en el diseño combinatorio.