Un dendrite est un continuum métrique compact, connexe et localement connexe qui ne contient aucune courbe fermée simple ; de manière équivalente, tout couple de points est relié par un arc unique et la topologie présente des points de branchement et des extrémités.

Principe

L'organisation d'un dendrite repose sur l'absence de cycles associée à la connexité locale : l'interdiction de toute courbe fermée simple impose une connexité par arcs unique et une topologie ramifiée de type arbre au sein d'un continuum compact.

Démonstration

Un arbre fini considéré comme un continuum 1‑dimensionnel compact (par exemple un arbre plan fini plongé dans R^2) est un dendrite ; des exemples plus fins sont certains ensembles de Julia de polynômes complexes qui sont localement connexes et sans courbe fermée simple.

Mauvaise application

Qualifier de dendrite un graphe acyclique général alors qu'il n'est pas compact ou pas localement connexe (par exemple un graphe infini avec points d'accumulation) constitue une mauvaise application en négligeant la compacité et la connexité locale.

Conséquence

Un continuum qui est un dendrite admet des arcs uniques entre points, un ensemble bien défini de points de branchement et d'extrémités, et aucun cycle non trivial ; de nombreux résultats de classification et de décomposition (par exemple selon l'ordre des points) en découlent.

Inversion

L'inverse est un continuum contenant une courbe fermée simple (une boucle), comme le cercle ou tout continuum avec un cycle non trivial, ce qui viole l'acyclicité définitoire du dendrite.

Limite

Le terme est limité aux continuum métriques compacts, connexes et localement connexes ; les arbres non compacts, les graphes avec cycles et les continuum manquant de connexité locale sont exclus.

Tension sémantique

Dendrite versus arbre abstrait : un arbre en théorie des graphes peut être fini ou combinatoire et n'est pas nécessairement un continuum compact, tandis que le dendrite impose des hypothèses topologiques de compacité et de connexité locale — les deux évoquent la ramification mais diffèrent par la finesse topologique.

Synthèse

Le dendrite est l'analogue topologique compact et localement connexe d'un arbre sans cycles : une structure continue gouvernée par des arcs uniques et des ramifications discrètes.