Un dendrita es un continuo métrico compacto, conexo y localmente conexo que no contiene ninguna curva cerrada simple; equivalentemente, cualquier par de puntos está unido por un arco único y su topología muestra puntos de ramificación y extremos.

Principio

El principio es la ausencia de ciclos combinada con la conectividad local: prohibir cualquier curva cerrada simple impone unicidad de arcos conectantes y una topología ramificada de tipo árbol dentro de un continuo compacto.

Demostración

Un árbol finito considerado como un continuo unidimensional compacto (por ejemplo, un árbol planar finito embebido en R^2) es un dendrita; ejemplos más sutiles incluyen ciertos conjuntos de Julia de polinomios complejos que son localmente conexos y sin curvas cerradas simples.

Aplicación incorrecta

Llamar dendrita a un grafo acíclico general cuando no es compacto o no es localmente conexo (por ejemplo, un grafo infinito con puntos de acumulación) aplica mal el término al ignorar la compacidad y la conectividad local.

Consecuencia

Si un continuo es un dendrita, tiene arcos únicos entre puntos, un conjunto bien definido de puntos de ramificación y extremos, y no posee lazos no triviales; de esto derivan muchos resultados de clasificación y descomposición (por ejemplo por el orden de los puntos).

Inversión

La inversión es un continuo que contiene una curva cerrada simple (un lazo), como el círculo o cualquier continuo con un ciclo no trivial, lo que viola la aciclicidad definitoria del dendrita.

Límite

El término se restringe a continuos métricos compactos, conexos y localmente conexos; quedan fuera los árboles no compactos, los grafos con ciclos y los continuos que no cumplen la conectividad local.

Tensión semántica

Dendrita versus árbol abstracto: un árbol en teoría de grafos puede ser finito o combinatorio y no tiene por qué ser un continuo compacto, mientras que dendrita impone hipótesis topológicas de compacidad y conectividad local — ambos evocan ramificación pero difieren en matices topológicos.

Síntesis

Un dendrita es el análogo topológico compacto y localmente conexo de un árbol sin ciclos: una estructura continua gobernada por arcos únicos y ramificaciones discretas.