Un plongement d'une variété ou d'un sous-espace qui est ambientement isotrope à un plongement lisse ou PL et qui est localement plat en chaque point, c'est-à-dire que chaque point possède un voisinage homéomorphe à un modèle plat standard.

Principe

La domptabilité exige que les voisinages locaux soient standards (localement plats), de sorte que le plongement puisse être redressé par une isotopie ambiante en un représentant lisse ou PL ; elle préserve les outils géométriques et homologiques locaux classiques.

Démonstration

Une k-sphère plongée de façon standard dans Rn (pour n>k+1) avec un voisinage tubulaire difféomorphe à S^k × R^{n-k} est tame ; de petites perturbations qui n'introduisent pas d'accumulation de nouages restent isotopes ambiantes à ce modèle lisse.

Mauvaise application

Supposer qu'une caractéristique localement tame garantit la domptabilité globale sans vérifier l'absence d'accumulations ; ou appliquer les théorèmes de voisinage tubulaire lisses en codimensions où la platitude locale échoue.

Conséquence

Un plongement tame admet des invariants locaux standards, des voisinages tubulaires, des arguments de transversalité et des méthodes de classification PL ou lisses ; les calculs dépendant de la platitude locale et de la dualité sont valides.

Inversion

L'opposé est un plongement sauvage, où la platitude locale échoue et aucune isotopie ambiante vers un modèle lisse ou PL n'existe ; l'inversion entraîne la perte des voisinages tubulaires et la rupture des invariants locaux classiques.

Limite

S'applique aux plongements qui admettent des isotopies ambiantes vers des modèles lisses ou PL ; n'inclut pas les plongements présentant une accumulation d'enchevêtrements pathologiques, ni les immersions avec auto-intersections.

Tension sémantique

Tension avec les plongements qui sont PL sauf sur un petit ensemble de Cantor : la plupart des points peuvent être locaux plats mais une sauvagerie globale persiste, forçant une distinction entre 'presque partout' localement plat et véritable domptabilité globale.

Synthèse

Un plongement localement plat (tame) est celui dont les voisinages locaux sont standards et qui peut être redressé par isotopie ambiante en un plongement lisse ou PL, restaurant l'outillage topologique et géométrique usuel.