Ensemble des classes d'équivalence de rayons géodésiques dans un espace métrique hyperbolique au sens de Gromov, deux rayons étant équivalents s'ils restent à distance bornée l'un de l'autre ; il encode les directions asymptotiques et la géométrie grossière à l'infini.

Principe

Regrouper les rayons géodésiques qui voyagent côte à côte jusqu'à une erreur bornée ; le bord est un invariant par quasi-isométrie capturant la structure à grande échelle, non les propriétés locales.

Démonstration

Dans le plan hyperbolique H2, les rayons géodésiques correspondent aux points idéaux et le bord de Gromov est homéomorphe à un cercle ; pour le graphe de Cayley d'un groupe libre fini, le bord est un ensemble de Cantor.

Mauvaise application

Confondre le bord de Gromov avec le bord de la complétion métrique ou le bord topologique d'un plongement ; ou le calculer à partir de métriques sensibles à la géométrie locale plutôt qu'au comportement quasi-géodésique à grande échelle.

Conséquence

Une identification correcte produit un bord topologique compact avec une dynamique induite par les isométries ; elle informe la rigidité, la structure quasi-conforme à l'infini et la classification des quasi-isométries.

Inversion

Au lieu de regrouper les rayons qui restent proches, on pourrait séparer les rayons selon leur divergence, obtenant une classification de type intérieur ; l'inversion rendrait la notion sensible à la géométrie locale et détruirait l'invariance par quasi-isométrie.

Limite

S'applique uniquement aux espaces hyperboliques au sens de Gromov (courbure négative grossière) et aux cadres quasi-géodésiques ; exclut les espaces non hyperboliques (espaces euclidiens, espaces symétriques de rang supérieur) où la construction est triviale ou inadéquate.

Tension sémantique

Tension avec le bord visuel défini via une métrique ou un point de base particulier et avec l'ensemble limite d'un groupe d'isométries ; ces notions peuvent coïncider mais diffèrent par leur sensibilité au choix métrique et à la structure grossière.

Synthèse

Le bord de Gromov est la compactification grossière et invariante par quasi-isométrie d'un espace hyperbolique, obtenue en identifiant les rayons géodésiques qui voyagent ensemble, et qui encode la géométrie asymptotique de l'espace.