El conjunto de clases de equivalencia de rayos geodésicos en un espacio métrico hiperbólico en el sentido de Gromov, donde dos rayos son equivalentes si permanecen a distancia acotada; codifica las direcciones asintóticas y la geometría a gran escala en el infinito.

Principio

Identificar puntos en el infinito agrupando rayos geodésicos que viajan juntos hasta un error acotado; el borde es un invariante por quasiisometría que capta la estructura a gran escala, no la local.

Demostración

En el plano hiperbólico H2, los rayos geodésicos corresponden a puntos ideales y el borde de Gromov es homeomorfo a una circunferencia; para el grafo de Cayley de un grupo libre finitamente generado, el borde es un conjunto de Cantor.

Aplicación incorrecta

Tratar el borde de Gromov como idéntico al borde de la completación métrica o al borde topológico de un incrustamiento; o calcularlo a partir de métricas sensibles a la geometría local en lugar del comportamiento quasi-geodésico a gran escala.

Consecuencia

Una identificación correcta produce un borde topológico compacto con una dinámica inducida por isometrías; informa sobre rigidez, estructura quasi-conforme en el infinito y clasificación de quasiisometrías.

Inversión

En lugar de agrupar rayos que permanecen cercanos, se podría separar rayos por su comportamiento divergente para obtener una clasificación de tipo interior; esa inversión hace que la noción sea sensible a la geometría local y pierda la invariancia por quasiisometría.

Límite

Se aplica solo a espacios hiperbolicos en el sentido de Gromov (curvatura negativa a gran escala) y en marcos quasi-geodésicos; excluye espacios no hiperbólicos (espacios euclidianos, espacios simétricos de rango superior) donde la construcción es trivial o inadecuada.

Tensión semántica

Existe tensión con el borde visual definido mediante una métrica o punto base específico y con el conjunto límite de un grupo de isometrías; pueden coincidir en muchos casos pero difieren en la sensibilidad a la métrica y a la estructura a gran escala.

Síntesis

El borde de Gromov es la compactificación a gran escala, invariante por quasiisometría, de un espacio hiperbólico, formada al identificar rayos geodésicos que viajan juntos y que codifica la geometría asintótica del espacio.