Un point de coupure d'un espace topologique est un point dont le retrait augmente le nombre de composantes connexes de l'espace ; autrement dit, enlever ce point isolé déconnecte un espace qui était auparavant connexe.

Principe

Détecter la décomposabilité globale par le retrait d'un seul point : un point de coupure atteste que l'espace n'est pas irréductiblement connexe en ce lieu.

Démonstration

Dans l'intervalle fermé [0,1], tout point intérieur x∈(0,1) est un point de coupure car [0,1]\{x} se sépare en deux intervalles disjoints. En revanche, aucun point du cercle S^1 n'est un point de coupure : l'enlèvement d'un seul point laisse le cercle connexe.

Mauvaise application

Qualifier de point de coupure un point frontière d'un espace déjà déconnecté sans vérifier l'hypothèse de connexité, ou confondre les points de coupure avec des points dont le retrait déconnecte seulement si d'autres points sont également retirés ; la notion exige que le retrait de ce seul point augmente le nombre de composantes.

Conséquence

Repérer les points de coupure fournit une décomposition de l'espace en blocs reliés par des points d'articulation ; en théorie des graphes, les points de coupure (sommets d'articulation) orientent les algorithmes de composantes biconnexes et influencent la structure du groupe fondamental et des homotopies.

Inversion

Un point non-coupure est un point dont le retrait laisse inchangé le nombre de composantes connexes ; de tels points ne servent pas d'articulations élémentaires de l'espace.

Limite

La définition a un sens uniquement relativement à un espace ambiant supposé connexe ; dans les espaces totalement disconnexes, chaque point peut être un point de coupure ou bien aucun ne modifiera les composantes selon la topologie. La notion se distingue des séparations par plusieurs points ou par ensembles fermés de cardinalité plus grande.

Tension sémantique

Tension entre « point de coupure » en topologie générale et l'« articulation point » en théorie des graphes ou les phénomènes de retrait en théorie des variétés ; des différences subtiles apparaissent selon la connexité locale versus globale et selon les espaces non-Hausdorff ou pathologiques.

Synthèse

Un point de coupure est un point unique dont la suppression scinde un espace connexe en plusieurs composantes, servant d'articulation atomique révélant la décomposabilité et guidant les analyses combinatoires et topologiques de la connexité.