Ein Trennpunkt eines topologischen Raums ist ein Punkt, dessen Entfernen die Anzahl der Zusammenhangskomponenten des Raums erhöht; mit anderen Worten: Durch Wegnahme dieses einzelnen Punktes wird ein zuvor zusammenhängender Raum getrennt.

Prinzip

Erkenne globale Zerlegbarkeit durch Einzelpunktentfernung: ein Trennpunkt weist darauf hin, dass der Raum an dieser Stelle nicht unzerlegbar zusammenhängend ist.

Demonstration

Im abgeschlossenen Intervall [0,1] ist jeder innere Punkt x∈(0,1) ein Trennpunkt, weil [0,1]\{x} in zwei disjunkte offene Intervalle zerfällt. Dagegen ist kein Punkt des Kreises S^1 ein Trennpunkt, da das Entfernen eines einzelnen Punktes den Kreis zusammenhängend lässt.

Fehlanwendung

Einen Randpunkt eines bereits zerlegten Raumes ohne Prüfung der Zusammenhangsvoraussetzungen als Trennpunkt zu bezeichnen, oder Trennpunkte mit Punkten zu verwechseln, deren Entfernen nur in Verbindung mit dem Entfernen weiterer Punkte trennt; die Definition verlangt, dass gerade das Entfernen dieses einen Punktes die Komponentenanzahl erhöht.

Konsequenz

Das Auffinden von Trennpunkten liefert eine Zerlegung des Raumes in Blöcke, die durch Artikulationspunkte verbunden sind; in Graphen entspricht ein Trennpunkt einem Artikulationsknoten und steuert Algorithmen für bikonnekte Komponenten sowie Einflüsse auf die fundamentale Gruppe.

Umkehrung

Ein nicht-trennender Punkt ist ein Punkt, dessen Entfernen die Anzahl der Zusammenhangskomponenten nicht ändert; solche Punkte dienen nicht als einfache Artikulationsstellen des Raums.

Abgrenzung

Die Definition ist nur bezogen auf einen angenommen zusammenhängenden Raum sinnvoll; in total zerlegten Räumen kann jeder Punkt ein Trennpunkt sein oder keiner die Komponentenanzahl verändern, je nach Topologie. Der Begriff unterscheidet sich von Mehrpunkttrennungen und Trennungen durch abgeschlossene Mengen höherer Mächtigkeit.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem allgemeinen topologischen Begriff des Trennpunkts und verwandten Begriffen wie dem Artikulationspunkt in der Graphentheorie oder Entfernungsphänomenen in Mannigfaltigkeiten; subtile Unterschiede treten bei lokaler vs. globaler Zusammenhangsbetrachtung und bei nicht-Hausdorff'schen Räumen auf.

Synthese

Ein Trennpunkt ist ein einzelner Punkt, dessen Entfernen einen zusammenhängenden Raum in mehrere Komponenten spaltet; er fungiert als atomarer Artikulationspunkt und ist ein nützliches Werkzeug zur Analyse von Zusammenhangseigenschaften.