Une homotopie H: X × [0,1] → X qui déforme continûment un espace topologique X sur un sous-espace A de sorte que H(x,0)=x, H(x,1) ∈ A pour tout x∈X, et H(a,t)=a pour tout a∈A et tout t ; une telle homotopie montre qu'A est un rétract par déformation de X et fournit une équivalence d'homotopie forte.

Principe

Construire une homotopie qui fixe point par point le sous-espace tout en contractant le complément vers celui-ci, réalisant ainsi une forme forte d'équivalence entre l'espace et le sous-espace.

Démonstration

Par exemple, le disque unité D^n se rétracte par déformation sur son centre : poser H(x,t) = (1−t)x qui fixe le centre et rapproche radialement chaque autre point vers le centre, donnant une rétraction par déformation sur un point.

Mauvaise application

Qualifier toute contraction continue de rétraction par déformation sans fournir une homotopie qui fixe point par point le sous-espace ou respecte les conditions aux bornes entraîne de fausses affirmations d'équivalence d'homotopie.

Conséquence

Si A est un rétract par déformation de X, l'inclusion A ↪ X est une équivalence d'homotopie, induisant des isomorphismes sur tous les groupes d'homotopie et d'homologie, ce qui simplifie les classifications et calculs.

Inversion

L'inverse est une inclusion de sous-espace sans homotopie qui fixe le sous-espace et rétracte l'espace ambiant sur lui ; une telle inclusion peut ne pas induire d'isomorphismes sur les groupes d'homotopie.

Limite

S'applique dans des contextes homotopiques de espaces topologiques où existent des homotopies continues ; exclut des notions plus faibles comme l'équivalence d'homotopie sans homotopie pointfixe spécifiée et les espaces dépourvus d'une topologie raisonnable.

Tension sémantique

La tension vient de la notion plus large d'équivalence d'homotopie : toute rétraction par déformation donne une équivalence d'homotopie, mais toute équivalence d'homotopie n'est pas nécessairement réalisée par une rétraction par déformation, les deux notions étant reliées mais distinctes.

Synthèse

Une rétraction par déformation est une homotopie explicite qui écrase un espace sur un sous-espace en fixant celui-ci point par point ; elle constitue un témoin concret d'équivalence d'homotopie fort et permet de remplacer X par A pour les calculs.