Una homotopía H: X × [0,1] → X que deforma continuamente un espacio topológico X sobre un subespacio A tal que H(x,0)=x, H(x,1) ∈ A para todo x∈X, y H(a,t)=a para todo a∈A y todo t; tal homotopía muestra que A es un retracto por deformación de X y proporciona una equivalencia de homotopía fuerte.

Principio

Producir una homotopía que fije punto por punto el subespacio mientras contrae su complemento dentro de él, realizando así una forma fuerte de equivalencia entre el espacio mayor y el subespacio.

Demostración

Por ejemplo, el disco unidad D^n se retrae por deformación hacia su centro: definir H(x,t) = (1−t)x que fija el centro y desplaza radialmente los demás puntos hacia él, dando una retracción por deformación sobre un punto.

Aplicación incorrecta

Denominar cualquier colapso continuo retracción por deformación sin suministrar la homotopía que fija punto por punto el subespacio o respeta las condiciones finales conduce a afirmaciones falsas de equivalencia de homotopía.

Consecuencia

Si A es retracción por deformación de X, la inclusión A ↪ X es una equivalencia de homotopía que induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía y homología, simplificando la clasificación y los cálculos.

Inversión

El reverso es una inclusión de subespacio que carece de una homotopía que fije el subespacio y retraiga el espacio ambiente; tal inclusión puede no inducir isomorfismos en los grupos de homotopía.

Límite

Se aplica en contextos homotópicos de espacios topológicos donde existen homotopías continuas; excluye nociones más débiles como equivalencia de homotopía sin una homotopía punto-fijada especificada y espacios sin topología razonable.

Tensión semántica

La tensión aparece frente a la noción más amplia de equivalencia de homotopía: toda retracción por deformación da una equivalencia de homotopía, pero no toda equivalencia de homotopía proviene de una retracción por deformación, por lo que son conceptos relacionados pero distintos.

Síntesis

Una retracción por deformación es una homotopía explícita que colapsa un espacio sobre un subespacio fijándolo punto por punto; es un testimonio concreto y fuerte de equivalencia de homotopía que permite reemplazar X por A para cálculos.