Principe topologique (invariance du domaine de Brouwer) affirmant qu'une application continue et injective entre variétés euclidiennes de dimension n (ou entre ouverts de R^n) est un plongement ouvert ; autrement dit, une application continue injective d'un ouvert de R^n dans R^n a une image ouverte. Une conséquence importante est que R^m et R^n ne sont pas homéomorphes si m ≠ n.

Principe

Les applications continues injectives entre variétés de même dimension locale préservent le type topologique local et ne peuvent pas écraser des ouverts en sous-ensembles de dimension inférieure : l'injectivité combinée à la continuité impose que l'image d'un ouvert soit ouverte et que la carte soit un plongement.

Démonstration

Soit U un ouvert non vide de R^n et f: U → R^n une injection continue. L'invariance du domaine assure que f(U) est un ouvert de R^n et que f est un plongement topologique sur son image. En particulier, si l'on supposait l'existence d'un homéomorphisme h: R^m → R^n avec m < n, la restriction de h à une boule ouverte donnerait une application continue injective dont l'image violerait la dimension locale euclidienne, ce qui est impossible ; donc aucun tel homéomorphisme n'existe.

Mauvaise application

Appliquer le résultat à des non-variétés, à des espaces qui ne sont pas localement euclidiens, à des applications injectives seulement sur des invariants algébriques, ou à des applications discontinues. Par exemple, attendre que le théorème s'applique à des ensembles fractals ou à des espaces non séparés conduit à des erreurs.

Conséquence

Permet de démontrer l'invariance de la dimension et d'exclure des homéomorphismes entre espaces euclidiens de dimensions différentes ; contraint les plongements possibles et éclaire des arguments de classification en topologie.

Inversion

Si l'injectivité est abandonnée (admettant des applications non injectives) ou si la continuité fait défaut, la conclusion tombe : des surjections continues de R^n sur des sous-ensembles de dimension inférieure existent, et des applications sauvages peuvent avoir des images non ouvertes ; inversement, un plongement ouvert n'est pas nécessairement surjectif et n'impose pas d'homéomorphisme global.

Limite

S'applique aux applications continues injectives entre variétés topologiques de dimension n (avec les hypothèses habituelles de Hausdorff et de seconde dénombrabilité). Il ne s'applique pas aux applications entre variétés de dimensions différentes, aux applications sur des espaces à bord sans vérification locale, ni aux invariants purement algébriques dépourvus d'injectivité point par point.

Tension sémantique

Souvent confondu avec le théorème de l'image ouverte en analyse ou avec l'invariance de domaine dans des contextes algébriques ; proche aussi de l'invariance de la dimension (corollaire) et du théorème de séparation de Jordan–Brouwer — les hypothèses et conclusions diffèrent toutefois.

Synthèse

L'invariance du domaine est la règle topologique selon laquelle une application continue et injective entre variétés de type euclidien de même dimension préserve l'ouverture locale et la structure de plongement : elle impose l'incompatibilité des dimensions euclidiennes distinctes et fonde de nombreux résultats de rigidité et de classification en topologie.