Un principio topológico (Invariancia del Dominio de Brouwer) que afirma que una aplicación continua e inyectiva entre variedades euclidianas de dimensión n (o entre subconjuntos abiertos de R^n) es un embebido abierto; equivalentemente, una aplicación continua e inyectiva de un abierto de R^n en R^n tiene imagen abierta. Una consecuencia clave es que R^m y R^n no son homeomorfos cuando m ≠ n.

Principio

Las aplicaciones continuas e inyectivas entre variedades de la misma dimensión euclidiana local preservan el tipo topológico local y no pueden colapsar conjuntos abiertos a subconjuntos de dimensión inferior; la inyectividad junto con la continuidad fuerza que la imagen de un abierto sea abierta.

Demostración

Sea U un subconjunto abierto no vacío de R^n y f: U → R^n una inyección continua. La invariancia del dominio afirma que f(U) es abierto en R^n y que f es un embebido topológico sobre su imagen. De aquí, si existiese un homeomorfismo h: R^m → R^n con m < n, la restricción de h a una bola abierta proporcionaría una aplicación continua e inyectiva cuya imagen violaría la dimensión euclidiana local, lo cual es imposible; por tanto no existe tal homeomorfismo.

Aplicación incorrecta

Aplicar el enunciado a no‑variedades, a espacios que no son localmente euclidianos, a aplicaciones que solo son inyectivas en invariantes algebraicos o a aplicaciones discontinuas. Por ejemplo, esperar que el teorema se aplique a conjuntos fractales o a espacios no Hausdorff conduce a conclusiones erróneas.

Consecuencia

Sirve para demostrar la invariancia de la dimensión y para excluir homeomorfismos entre espacios euclidianos de dimensiones distintas; limita las posibles incrustaciones y ayuda en argumentos de clasificación en topología.

Inversión

Si se prescinde de la inyectividad (permitiendo aplicaciones no inyectivas) o de la continuidad, la conclusión falla: existen sobreyecciones continuas de R^n sobre conjuntos de dimensión menor y aplicaciones continuas 'salvajes' cuya imagen no es abierta; por otro lado, un embebido abierto no tiene por qué ser sobreyectivo y no impone un homeomorfismo global.

Límite

Se aplica a aplicaciones continuas e inyectivas entre variedades topológicas de dimensión n (con las hipótesis usuales de Hausdorff y segunda numerabilidad). No se aplica a mapas entre variedades de distinta dimensión, ni a espacios con borde sin comprobar cartas locales, ni a invariantes puramente algebraicos sin inyectividad puntual.

Tensión semántica

A menudo se confunde con el Teorema de la Imagen Abierta del análisis o con otras nociones de 'invariancia'; está relacionado pero distinto de la invariancia de la dimensión (corolario) y del Teorema de Separación de Jordan–Brouwer.

Síntesis

La invariancia del dominio es la regla topológica que dice que una aplicación continua e inyectiva entre variedades del tipo euclidiano y de igual dimensión preserva la apertura local y la estructura de embebido; impone la incompatibilidad de distintas dimensiones euclidianas y sustenta muchos resultados de rigidez y clasificación en topología.