Un théorème affirmant que toute courbe simple fermée (un plongement continu du cercle S^1) dans le plan sépare le plan en exactement deux composantes connexes, l'une bornée (l'intérieur) et l'autre non bornée (l'extérieur), la courbe étant leur frontière commune.

Principe

Une courbe simple continue fermée dans le plan est un cercle topologique dont le complément a précisément deux composantes ; la courbe constitue la frontière de chacune, de sorte que 'intérieur' et 'extérieur' sont des régions topologiquement bien définies.

Démonstration

Pour une boucle polygonale simple dans R^2 le théorème est clair par des arguments de graphes plans : arêtes et faces produisent une face intérieure et une face extérieure non bornée. Pour une courbe simple continue sauvage (éventuellement fractale), le théorème garantit néanmoins exactement deux composantes du complément, bien que l'intuition géométrique liée à la régularité puisse échouer.

Mauvaise application

Appliquer l'énoncé à des courbes non simples (boucles auto-intersectantes) ou à des plongements de sphères de dimension supérieure sans invoquer le théorème de séparation de Jordan–Brouwer ; de telles utilisations conduisent à des conclusions erronées sur le nombre ou la nature des composantes du complément.

Conséquence

Donne une notion topologique rigoureuse d'intérieur et d'extérieur pour des boucles planaires, soutient des résultats sur le nombre d'enroulement (winding number), le comptage de faces en théorie des graphes planaires, et sert de base à des théorèmes ultérieurs comme Jordan–Schoenflies qui précise la structure de l'intérieur sous des hypothèses supplémentaires.

Inversion

La réciproque est fausse en général : un sous-ensemble du plan dont le complément a exactement deux composantes n'est pas nécessairement une courbe simple fermée ; le théorème est existentiel pour les plongements de S^1, pas une caractérisation de tous les ensembles séparants.

Limite

Limité aux courbes simples fermées du plan (ou, de façon équivalente, aux plongements de S^1 dans S^2) ; les généralisations en dimension supérieure requièrent le théorème de séparation de Jordan–Brouwer, et l'énoncé exclut les boucles auto-intersectantes et les sous-ensembles non homéomorphes au cercle.

Tension sémantique

Souvent confondu avec le théorème de Jordan–Schoenflies qui ajoute que la composante bornée est homéomorphe au disque sous des hypothèses de lissage ou piecewise-linéaires ; la tension est entre la simple séparation (Jordan) et l'équivalence topologique de l'intérieur (Schoenflies).

Synthèse

Le Théorème de la Courbe de Jordan affirme que toute courbe simple fermée du plan induit une dichotomie topologique nette en deux régions partageant la courbe comme frontière, formalisant la distinction intuitivement évidente intérieur/extérieur même pour des boucles très irrégulières.